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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Mecânica dos Materiais- Ed: 7º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 39

Para a viga e o carregamento mostrados nas figuras, determine (a) a inclinação na extremidade A, (b) a deflexão no ponto B e (c) a deflexão na extremidade D.

Passo 1

Opaa! Fala pessoal, beleza? Bora pra mais um?! Para resolver esse exercício, vamos utilizar a equação que governa a linha elástica, dada por:

E I . d 2 y d x 2 = M

Então, nós precisamos da equação para o momento da viga, vamos determinar essa equação com o auxílio das funções de singularidade vistas nesse capítulo, depois disso conseguimos integrar a expressão acima para obter a equação para a inclinação. Integrando novamente conseguimos obter a equação para a deflexão, e aí temos tudo o que precisamos pra resolver o exercício. Então bora lá!

Passo 2

Beleza! Vamos começar desenhando o DCL para o sistema, onde teremos:

Beleza! Vamos começar aplicando o somatório de momento em relação ao ponto B para descobrir o valor da reação no ponto D, então teremos:

+ ↺ ∑ M B = 0

P a - P a + D y ( 2 a ) = 0 → D y = 0

Agora, aplicando o somatório de forças na direção y, conseguimos achar o valor da reação em B, que será:

+ ↑ ∑ F y = 0

- P + B y - P = 0 → B y = 2 P

Agora, nós conseguimos escrever a equação de singularidade para o cisalhamento na viga, tomando o ponto A como referência, teremos:

V = - P + B y < x - a > 0 - P < x - 2 a > 0

Substituindo a expressão encontrada para B y , teremos:

V = - P + 2 P < x - a > 0 - P < x - 2 a > 0

Passo 3

Agora, sabendo que a derivada do momento equivale a equação para o cisalhamento, ou seja:

d M d x = V

Substituindo a relação encontrada para o cisalhamento, temos:

d M d x = - P + 2 P < x - a > 0 - P < x - 2 a > 0

Agora, integrando essa expressão, chegaremos em:

M = - P x + 2 P < x - a > 1 - P < x - 2 a > 1 + C

Nesse caso, C representa os momentos localizados aplicados no sistema, no nosso caso não temos nenhum, então:

C = 0

E a nossa equação para o momento se torna:

M = - P x + 2 P < x - a > 1 - P < x - 2 a > 1

Agora nós podemos utilizar a equação que governa o regime elástico descrita lá no passo 1 e substituir a equação obtida para o momento, então teremos:

E I . d 2 y d x 2 = - P x + 2 P < x - a > 1 - P < x - 2 a > 1

Agora vamos integrar essa expressão, chegando em:

E I . d y d x = - P x 2 2 + P < x - a > 2 - P 2 < x - 2 a > 2 + C 1

Agora nós vamos integrar a equação novamente para obter a equação da deflexão, então teremos:

E I . y = - P x 3 6 + P 3 < x - a > 3 - P 6 < x - 2 a > 3 + C 1 x + C 2

Passo 4

Beleza! Agora para encontrar o valor das constantes C 1 e C 2 vamos utilizar as condições de contorno que temos. No nosso caso, sabemos que a deflexão será zero nos apoios B e D, então teremos:

x = a → y = 0

x = 3 a → y = 0

Substituindo a primeira relação na equação para a deflexão, temos:

E I . 0 = - P a 3 6 + P 3 < a - a > 3 - P 6 < a - 2 a > 3 + C 1 a + C 2

0 = - P a 3 6 + 0 - 0 + C 1 a + C 2 → C 2 = P a 3 6 - C 1 a

Vamos deixar essa expressão guardada. Agora, substituindo a segunda condição de contorno na equação da deflexão, teremos:

E I . 0 = - P 3 a 3 6 + P 3 < 3 a - a > 3 - P 6 < 3 a - 2 a > 3 + C 1 3 a + C 2

0 = - 9 P a 3 2 + P 3 2 a 3 - P a 3 6 + 3 a C 1 + C 2

Substituindo a expressão encontrada para C 2 nessa equação, chegaremos em:

0 = - 9 P a 3 2 + 8 P a 3 3 - P a 3 6 + 3 a C 1 + P a 3 6 - C 1 a

2 a C 1 = 27 P a 3 - 16 P a 3 6 → C 1 = 11 P a 2 12

Agora vamos substituir essa expressão na equação para C 2 , chegando em:

C 2 = P a 3 6 - C 1 a = P a 3 6 - 11 P a 2 12 a

C 2 = - 3 4 P a 3

Então, a nossa equação para a linha elástica será:

E I . y = - P x 3 6 + P 3 < x - a > 3 - P 6 < x - 2 a > 3 + C 1 x + C 2

y = 1 E I - P x 3 6 + P 3 < x - a > 3 - P 6 < x - 2 a > 3 + 11 P a 2 12 x - 3 4 P a 3

Passo 5

Agora para a letra (a), vamos calcular a inclinação na extremidade A, através da equação da inclinação obtida no passo 3, onde temos:

E I . d y d x = - P x 2 2 + P < x - a > 2 - P 2 < x - 2 a > 2 + C 1

Substituindo o valor de C 1 obtido no passo 4 e fazendo x = 0 temos:

E I . d y d x x = 0 = - P ( 0 ) 2 2 + P < 0 - a > 2 - P 2 < 0 - 2 a > 2 + 11 P a 2 12

d y d x x = 0 = 11 P a 3 12 E I

Shoow! Bora pra (b) agora.

Passo 6

Agora para a letra (b), vamos calcular a deflexão no ponto B, onde temos x = a , então, substituindo esse valor na equação para a linha elástica encontrada no passo 4, teremos:

y = 1 E I - P a 3 6 + P 3 < a - a > 3 - P 6 < a - 2 a > 3 + 11 P a 2 12 ( a ) - 3 4 P a 3

y = 1 E I - P a 3 6 + 0 - 0 + 11 P a 3 12 - 3 4 P a 3 = 1 E I - 2 P a 3 + 11 P a 3 - 9 P a 3 12

y = 0

Shoow! Bora pra (c) agora pra fechar.

Passo 7

Agora para a letra (c), vamos calcular a deflexão no ponto D, onde temos x = 3 a , então, substituindo esse valor na equação para a linha elástica encontrada no passo 4, teremos:

y = 1 E I - P 3 a 3 6 + P 3 < 3 a - a > 3 - P 6 < 3 a - 2 a > 3 + 11 P a 2 12 ( 3 a ) - 3 4 P a 3

y = 1 E I - 9 P a 3 2 + P 3 2 a 3 - P a 3 6 + 11 P a 3 4 - 3 4 P a 3

y = 1 E I - 9 P a 3 2 + 8 P a 3 3 - P a 3 6 + 11 P a 3 4 - 3 4 P a 3

y = 1 E I - 54 P a 3 + 32 P a 3 - 2 P a 3 + 33 P a 3 - 9 P a 3 12 → y = 0

Prooonto! Terminamos mais um, valeeu!

Resposta

a :   d y d x x = 0 = 11 P a 3 12 E I

b :   y = 0

c :   y = 0

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