Enunciado

A viga AB consiste em uma placa de ferro fundido de espessura uniforme b e comprimento L e deve suportar a força w(x) mostrada. (a) Sabendo que a viga deve ser de resistência constante, expresse h em termos de x, L e h 0 . (b) Determine o menor valor de h 0 se L = 750 mm, b = 30 mm, w 0 = 300 kN/m e σ a d m = 200 MPa.

Passo 1

Tá legal! Nesse exercício, não precisamos encontrar nenhuma reação de apoio para o sistema. Aqui nós vamos utilizar as equações de singularidade para encontrar o carregamento, a força cortante e o momento fletor. Então, através do carregamento do enunciado, podemos escrever o carregamento em função da distância x da seguinte forma:

w = w 0 s e n π x 2 L

Agora podemos encontrar a força cortante sabendo que ela será o oposto da integral da equação do carregamento, ou seja:

V = - ∫ w d x

Substituindo a expressão para w e resolvendo a integral, chegamos em:

V = - ∫ w 0 s e n π x 2 L d x

V = - - 2 L w 0 π c o s π x 2 L + C → V = 2 L w 0 π c o s π x 2 L + C

Agora, para encontrar o valor da constante C, nós vamos utilizar a condição de contorno que temos, que no caso é a de que não temos força cortante em x = 0 , ou seja:

x = 0 → V = 0

Então, substituindo esses valores na equação da força cortante, teremos:

V = 2 L w 0 π c o s π x 2 L + C → 0 = 2 L w 0 π cos ⁡ π 0 2 L + C

2 L w 0 π cos ⁡ ( 0 ) + C = 0 → 2 L w 0 π 1 + C = 0 → C = - 2 L w 0 π

Então, nossa equação para a força cortante será:

V = 2 L w 0 π c o s π x 2 L - 2 L w 0 π

Passo 2

Agora, para encontrarmos a equação do momento fletor, como já temos a equação para a força cortante, basta lembrar que a derivada do momento equivale a força cortante, ou seja:

d M d x = V

Isolando as variáveis dessa equação, temos:

d M = V d x

Integrando essa expressão dos dois lados, teremos:

∫ d M = ∫ V d x

Agora, substituindo a expressão encontrada para V no passo 1, a equação acima se torna:

M = ∫ 2 L w 0 π c o s π x 2 L - 2 L w 0 π d x

Resolvendo a integral, teremos:

M = 4 L 2 w 0 π 2 s e n π x 2 L - 2 L w 0 π x + C

Em que C é a constante de integração. Nesse caso, a constante de integração corresponde aos momentos localizados que são aplicados ao sistema, no nosso caso não temos nenhum momento localizado, então teremos:

C = 0

Então a equação do momento será:

M = 4 L 2 w 0 π 2 s e n π x 2 L - 2 L w 0 π x → M = 2 L w 0 π 2 L π s e n π x 2 L - x

Passo 3

Agora, vamos utilizar a equação 5.18 vista nessa seção para escrever o módulo de resistência da viga, que será dado por:

W = M σ a d m

Como você pode ver, aqui temos que colocar o módulo do momento, no entanto, a nossa equação encontrada para o momento não mostra de forma clara se será positiva ou negativa. Então vamos comparar o valor da expressão do momento em x = 0 e x = L . Começando com x = 0 , temos:

M = 4 L 2 w 0 π 2 s e n π ( 0 ) 2 L - 2 L w 0 π 0 = 4 L 2 w 0 π 2 s e n 0 - 0 → M = 0

Para x = L , temos:

M = 4 L 2 w 0 π 2 s e n π L 2 L - 2 L w 0 π L = 4 L 2 w 0 π 2 s e n π 2 - 2 L 2 w 0 π

M = 4 L 2 w 0 π 2 - 2 L 2 w 0 π → M = 2 L 2 w 0 π 2 π - 1

Podemos ver que o valor entre parênteses será negativo, pois 2 / π será um valor menor que 1. Dessa forma, o módulo do momento será o valor negativo do que encontramos anteriormente, ou seja:

M = - 2 L w 0 π 2 L π s e n π x 2 L - x → M = 2 L w 0 π x - 2 L π s e n π x 2 L

Substituindo a expressão para o momento na equação para o módulo de resistência, teremos:

W = 2 L w 0 π x - 2 L π s e n π x 2 L σ a d m → W = 2 L w 0 π σ a d m x - 2 L π s e n π x 2 L

Agora, lembrando que o módulo de resistência W para uma seção transversal retangular é dado por:

W = b h 2 6

Podemos igualar as duas expressões encontradas para W , fazendo isso, teremos:

b h 2 6 = 2 L w 0 π σ a d m x - 2 L π s e n π x 2 L

Agora, isolando h dessa equação, chegaremos em:

h 2 = 12 L w 0 b π σ a d m x - 2 L π s e n π x 2 L → h = 12 L w 0 b π σ a d m x - 2 L π s e n π x 2 L

Passo 4

Ainda estamos na letra (a), vamos lá! Para escrever h em termos de x, L e h 0 , está faltando determinar o h 0 , que ocorre em x = L , então, vamos substituir esse valor de x na equação que encontramos para h , chegando em:

h 0 = 12 L w 0 b π σ a d m L - 2 L π s e n π L 2 L = 12 L w 0 b π σ a d m L - 2 L π s e n π 2

h 0 = 12 L w 0 b π σ a d m L - 2 L π → h 0 = 12 L 2 w 0 b π σ a d m 1 - 2 π

h 0 = 1,178 L 2 w 0 b σ a d m

Agora precisamos dar um jeito de fazer esse termo aparecer lá na equação de h . Para isso, vamos dividir a equação de h por h 0 dos dois lados, dessa forma, teremos:

h = 12 L w 0 b π σ a d m x - 2 L π s e n π x 2 L → h h 0 = 12 L w 0 b π σ a d m x - 2 L π s e n π x 2 L 1,178 L 2 w 0 b σ a d m

h = h 0 1,178 . 12 L w 0 b π σ a d m x - 2 L π s e n π x 2 L L 2 w 0 b σ a d m

h = h 0 1,178 12 L w 0 b π σ a d m x - 2 L π s e n π x 2 L . b σ a d m L 2 w 0 = h 0 1,178 12 L π x - 2 L π s e n π x 2 L

h = 1,659 h 0 1 L x - 2 L π s e n π x 2 L

Tá aí! Essa é a expressão que queríamos pra h .

Passo 5

Agora para resolver a letra (b), vamos utilizar a equação que encontramos para h 0 :

h 0 = 1,178 L 2 w 0 b σ a d m

E vamos substituir os valores fornecidos no enunciado, chegando em um valor mínimo de h 0 :

h 0 = 1,178 0,75 2 ( 300.10 3 ) 0,03 200.10 6 → h 0 = 0,197   m

Resposta

a :   h = 1,659 h 0 1 L x - 2 L π s e n π x 2 L

b :   h 0 = 0,197   m

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