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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Resistência dos Materiais- Ed: 3º - Capítulo 5.Problemas Revisão - Ex. 150b

Para uma viga extrudada de seção transversal mostrada, determinar:

  1. A distribuição das tensões de cisalhamento, causadas por uma força vertical V de 2,5   k N aplicada em O .

Passo 1

O nosso objetivo aqui é determinar as tensões que agem na nossa seção em 3 pontos importantes:

  • Ponto B – final da parte horizontal
  • Ponto D- final da parte diagonal
  • Ponto E – ponto com a máxima tensão cisalhante

Sabemos que a tensão na nossa peça é dada por:

τ = V Q I b

Precisamos determinar o momento de inércia total da nossa seção, vamos seguir o seguinte passo a passo.

Passo 2

Vamos determinar primeiro o momento de inércia, para isso precisamos determinar algumas coisas, para isso temos que fazer o seguinte passo a passo.

para determinarmos o momento de inércia, precisamos fazer a seguinte conta:

I = ∑ I i + A i d i 2

  • Primeiro determinamos uma divisão em seções mais simples

  • Em segundo determinamos as áreas da nossa seção

    • A 1 = 6   × 80 = 480   m m 2

    A 2 = 65   × 8 = 520   m m 2

    A 3 = 160 × 8 = 1280   m m 2

  • Em terceiro determinamos a distância dos centroides dos elementos até a LN, e como a seção é simétrica, está no centro da seção total, sendo assim teremos que:

  • Em quarto precisamos determinar os momentos de inércia de cada uma das seções mais simples:

    • Agora para determinarmos o momento de inércia, precisamos fazer a seguinte conta:

    I = ∑ I i + A i d i 2

    Mas temos que lembrar que precisamos usar os valores de inercia da região 6 como negativa, sendo assim temos que:

    I = 2 I 1 + A 1 d 1 2 + 2 I 2 + A 2 d 2 2 + I 3

    2 1440 + 480   .     55 2 + 2 10417 + 520   .     67,5 2 + 2730667

    I = 2 1453440 + 2 2379667 + 2730667 = 10396881   m m 4

    Passo 3

    Para o momento estático, precisamos escrever a nossa equação em função disso, porque sabemos que a nossa força está em função da tensão, sendo assim podemos fazer o seguinte:

  • Área da região acima do ponto que se quer saber o cisalhamento

    • Vamos ter que fazer esse momento estático em dois grupos, vamos primeiro fazer a parte horizontal.

    A = 6 x

    Lembrando que x é a variação do comprimento da área analisada.

  • Distância do centroide da área até a LN

    • agora para determinar o momento estático precisamos fazer a seguinte conta:

    Q = A 1 y 1 = 6 x 55 = 330 x   m m 3

    E sabemos que a espessura de cisalhamento é dado por 6. substituindo isso na nossa equação teremos que:

  • Tensão

    • τ = V Q I b = V   .     330 x     I     .     6 = 2,5   .     330   .   80     10396881       .     6 = 1,06   .   10 - 3 G P a = 1,06   M P a

    Passo 4

    Vamos calcular agora a tensão no ponto D, e para isso precisamos do momento estático.

  • Área da região acima do ponto que se quer saber o cisalhamento

  • Distância do centroide da área até a LN

    • agora para determinar o momento estático precisamos fazer a seguinte conta:

    Q = A 1 y 1 + A 2 y 2 = 480   .     55 + 520   .     67,5 = 61500   m m 3

    E sabemos que a espessura de cisalhamento é dado por 8. substituindo isso na nossa equação teremos que:

  • Tensão

    • τ = V Q I b = 2,5   .     61500     10396881     .     8 = 1,85   . 10 - 3 G P a = 1 , 85   M P a

    Passo 6

    Vamos calcular agora a tensão no ponto E, e para isso precisamos do momento estático.

  • Área da região acima do ponto que se quer saber o cisalhamento

  • Distância do centroide da área até a LN

    • agora para determinar o momento estático precisamos fazer a seguinte conta:

    Q = A 1 y 1 + A 2 y 2 + A 3 y 3 = 480   .     55 + 520   .     67,5 + 640   .     40 = 87100   m m 3

    E sabemos que a espessura de cisalhamento é dado por 8. substituindo isso na nossa equação teremos que:

  • Tensão

τ = V Q I b = 2,5   .     87100     10396881     .     8 = 2,62   . 10 - 3 G P a = 2,62   M P a

Resposta

τ B = 1,06   M P a

τ D = 1,85   M P a

τ E = 2,62   M P a

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