Enunciado
Mecânica e Resistência dos Materiais - Resistência dos materiais - 7ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 7º - Capítulo 7.Problemas - Ex. 20
Desenvolva uma expressão para a componente vertical média da tensão de cisalhamento que age no plano horizontal que passa pelo eixo, localizado a uma distância y do eixo neutro.
Passo 1
Neste primeiro passo vamos pensar um pouco em como a equação do cisalhamento (Equação 7.3) funciona. Observe a equação:
é o cisalhamento aplicado sobre a seção, e para todos os efeitos é constante. é o momento de inércia de toda a seção, e por isso também é constante.
é o momento estático e varia dependendo do ponto em que queremos calcular a tensão. Já a base , no caso de uma circunferência, também é variável.
Assim, para encontrar uma equação de cisalhamento que represente uma seção circular, precisaremos calcular as funções que representam e
Passo 2
Então vamos começar calculando o momento de inércia, pois este é um valor constante.
Passo 3
Agora vamos fazer uma função que represente a base.
Primeiro vamos imaginar uma “tira” sobre a circunferência, de espessura infinitesimal , a uma distância do centro e de base .
Podemos usar o teorema de pitágoras para determinar em função de e .
Passo 4
Com isso, podemos determinar o momento estático como uma soma do momento estático dessas “tiras” infinitesimais, isso é expresso pela integral da equação 7.2 do livro texto.
Vamos determinar a área de uma “tira” como:
Vamos substituir o valor da área na integral. Para gerar uma função para o momento estático integramos a partir de um ponto qualquer até atingir o raio .
Efetuando a integral:
Chegamos na expressão:
NOTA: a integral se dá de “ à c” e não ao contrário. Pois observe que o sentido de crescimento de é do centro até o tamanho do raio
Passo 5
Agora aplicamos isso na equação 7.3
Chegamos a uma função que representa a tensão em qualquer ponto da seção circular.