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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Resistência dos Materiais- Ed: 3º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 106a

Para uma viga extrudada, com a seção transversal mostrada, determinar:

  1. A localização do centro de cisalhamento O.

Passo 1

Para esse tipo de questão sabemos que a nossa tensão de cisalhamento produz na seção forças que são decorrentes do diagrama de tensões. Mas ai temos o seguinte macete, imagine que na verdade a nossa seção tenha o seguinte fluxo de tensões.

Se calcularmos o momento fletor em torno de “d” teremos que:

M d = 2 F h + h 2 + 2 Q h 2 = 2 F 3 h 2 + 2 Q h 2

M d = 3 F h + Q h

M d = 3 F + Q h

Agora pensa o seguinte, se temos esse momento fletor agindo em torno de “d” vamos tentar equilibrar ele, e para equilibrar, precisamos descobrir qual a distância “e” que podemos colocar a nossa carga vertical para garantir que a nossa seção vá descer vertical, e não rotacionar, sendo assim, teremos que:

Calculando o momento fletor em “d” teremos que:

M d = V e

E igualando os momentos fletores, teremos que:

V e = 3 F + Q h

e = 3 F + Q h V

h = 30 m m

Sabemos que a força que age na seção superior e gera a força F é dada pela seguinte equação:

F = ∫ τ d A

Sabemos que:

τ = V Q I b

Agora vamos determinar cada um dos nossos termos, bora nessa?

Passo 2

O momento de inércia da nossa seção já foi dado no enunciado, e com isso temos que:

I z = 0,933 × 10 6   m m 4

A espessura de cisalhamento vai depender do local que estamos calculando a tensão, sendo assim teremos que:

  • Força F

    • b = 4 m m

  • Força Q

b = 6 m m

Vamos agora para a definição do momento estático.

Passo 3

Para o momento estático, precisamos escrever a nossa equação em função disso, porque sabemos que a nossa força está em função da tensão, mas para isso temos que calcular cada uma das forças separadamente, vamos então fazer o seguinte, bora começar pela força F, e depois calculamos a força Q, vamos nessa?

  • Força em F

    • Área da região acima do ponto que se quer saber o cisalhamento

      • A = 4 x

      Lembrando que x é a variação do comprimento da área analisada.

    • Distância do centroide da área até a LN

      • y 1 = 30 + 15 = 45 m m

      agora para determinar o momento estático precisamos fazer a seguinte conta:

      Q = A 1 y 1 = 4 x 45 = 180 x

      E sabemos que a espessura de cisalhamento é dado por “ t = b = 4 m m ” . substituindo isso na nossa equação teremos que:

    • Tensão

      • τ = V Q I b = V   .     180 x     0,933   . 10 6     .     4

      Sabemos que devemos substituir isso na seguinte integral:

      F = ∫ τ d A

      Sabemos que:

      A = 4 x

      Logo:

      d A = 4 d x

      Sendo assim teremos que:

      F = ∫ V   .     180 x     0,933   . 10 6     .     4 4 d x

      F = ∫ V   .     180 x     0,933   . 10 6   d x

      F = 1,93 × 10 - 4 V ∫ x d x

      F = 1,93 × 10 - 4 x 2 V 2    

      Como sabemos que x varia de 0 até 30, podemos ignorar o zero e analisar apenas o 30, sendo assim teremos que:

      F = 1,93 × 10 - 4 x 2 V 2    

      F = 1,93 × 10 - 4 30 2 V 2   = 0,0868 5 V

    • Força em Q

  • Área da região acima do ponto que se quer saber o cisalhamento

    • A = 6 x

    Lembrando que x é a variação do comprimento da área analisada.

  • Distância do centroide da área até a LN

    • y 1 = 15 = 1 5 m m

    agora para determinar o momento estático precisamos fazer a seguinte conta:

    Q = A 1 y 1 = 6 x 15 = 90 x

    E sabemos que a espessura de cisalhamento é dado por “ t = b = 6 m m ” . substituindo isso na nossa equação teremos que:

  • Tensão

τ = V Q I b = V   .     90 x     0,933   . 10 6     .     6

Sabemos que devemos substituir isso na seguinte integral:

Q = ∫ τ d A

Sabemos que:

A = 6 x

Logo:

d A = 6 d x

Sendo assim teremos que:

Q = ∫ V   .     90 x     0,933   . 10 6     .     6 6 d x

Q = ∫ V   .     90 x     0,933   . 10 6   d x

Q = 9,65 × 10 - 5 V ∫ x d x

Q = 9,65 × 10 - 5 x 2 V 2    

Como sabemos que x varia de 0 até 30, podemos ignorar o zero e analisar apenas o 30, sendo assim teremos que:

Q = 9,65 × 10 - 5 x 2 V 2    

Q = 9,65 × 10 - 5 30 2 V 2   = 0,043425 V

Mas lembra o nosso objetivo? Queremos determinar a excentricidade que podemos aplicar a nossa carga, sendo assim, como já temos a força, teremos que:

e = 3   .     0,0868 5 V + 0,043425 V   .   30 V = 9,12   m m

Resposta

e = 9,12   m m

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