Um torque de 8,5   k N m é aplicada à extremidade de um tanque contendo óleo sob uma pressão de 2,8 M P a . Sabendo-se que o tanque tem um diâmetro externo de 250 m m e uma espessura de 6,35 m m , determinar a máxima tensão normal e a máxima tensão de cisalhamento na parede cilíndrica do tanque.

Passo 1

Então galera, essa questão pode parecer que foge da nossa realidade, mas muito pelo contrário, ela só vai acoplar um conceito novo ao nosso problema, e esse conceito é muito simples. Você lembra como era o nosso elemento infinitesimal quando o mesmo estava sujeito a um conjunto de tensões?

Porém, sempre que tratamos vasos de pressão, ou esferas de pressão, calculávamos um estado de tensões sem tensão de cisalhamento, ou seja, só tensões principais, que é exatamente isso aqui que calculamos:

Agora pensa comigo, sempre que colocamos uma torção em uma estrutura, qual o tipo de tensão que ela gera???? Isso mesmo, a tensão cisalhante, ou seja, a nossa fórmula é dada por:

τ = T ρ J

Em que o J é dado por:

J = π 2 r e 4 - r i 4

E quando tivermos essa tensão cisalhante agindo na nossa seção, o nosso elemento será dado por:

Onde as tensões normais são calculadas da seguinte maneira.

  • Sabemos que a nossa tubulação é cilíndrica e não esférica, nesse caso, usaríamos as seguintes equações:
  • σ y = σ 2 = p r 2 t

    σ x = σ 1 = p r t

  • Sabemos que o nosso diâmetro dado, é o diâmetro externo, ou seja, precisamos descontar a espessura, sendo assim temos que:
  • r = D 2 - t

  • E sabemos que t é a espessura
  • p é a pressão que age na nossa estrutura

Até aqui tudo certo, certo? Mas ai entra uma coisa bem legal, lembra que o enunciado quer saber as TENSÕES máximas cisalhante e normal, e agora que temos um elemento infinitesimal, como vamos fazer para determinar as tensões máximas? Só lembrar das nossas fórmulas dadas por:

σ 1 n o v a = σ m e d + R

σ 2 n o v a = σ m e d - R

Sabemos que:

σ m e d = σ x + σ y 2

τ x y m a x = R = σ x - σ y 2 2 + τ x y 2

Agora sim temos toda a matéria prima para resolver o nosso problema, vamos nessa??

Passo 2

Sabemos pelo enunciado que:

t = 6,35   m m = 0,00635   m

D = 250   m m = 0,250 m

p = 2,8   M P a = 2800 k N m 2

Calculando o raio, temos que:

r = D 2 - t = 0,250 2 - 0,00635   = 0,11865   m

Calculando a tensão, teremos que:

σ 2 = p r 2 t = 2800 k N m 2   .   0,11865   m 2   .     0,00635 m = 26159 k N m 2 = 26,2   M P a

σ 1 = p r t = 2800 k N m 2   .   0,11865   m 0,00635 m = 52318 k N m 2 = 52,4   M P a

E agora só falta a tensão cisalhante, que vai vir da torção, e para isso temos as seguintes equações:

τ = T ρ J

Em que o J é dado por:

J = π 2 r e 4 - r i 4

T = 8,5   k N m

ρ = r e = 0,250 2 = 0,125   m

r i = 0,250 2 - 0,00635 = 0,11865   m

τ = 8,5   k N m   .     0,125   [ m ] π 2 0,125 4 - 0,11865 4 m 4 = 14719 k N m 2 = 14,7   M P a

E assim o nosso elemento infinitesimal é dado por:

Passo 3

E agora que temos o elemento infinitesimal, precisamos apenas das tensões principais, e essas tensões principais são dadas pela seguinte equação.

σ m e d = σ x + σ y 2

σ m e d = 52,4 + 26,2 2 = 39,3   M P a

τ x y m a x = R = σ x - σ y 2 2 + τ x y 2

τ x y m a x = R = 52,4 - 26,2 2 2 + 14,7 2 = 19 , 7   M P a

E assim já temos a tensão máxima cisalhante agindo no nosso elemento infinitesimal.

τ x y m a x = 19 , 7   M P a

As tensões principais normais são dadas por:

σ 1 n o v a = 39,3   + 19 , 7 = 59   M P a

σ 2 n o v a = 39,3 - 19,7 = 19,6   M P a

Resposta

τ x y m a x = 19,7   M P a

σ 1 n o v a = 59   M P a

σ 2 n o v a = 19,6   M P a

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