Enunciado
Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Resistência dos Materiais- Ed: 3º - Capítulo 6.Problemas - Ex. 111a
O tanque de ar comprimido tem um diâmetro externo de e uma espessura de . Nele é montado um colar, no qual uma força de pode ser aplicado em , formando um ângulo com a horizontal. Sabendo-se que a pressão interna do tanque é de , determinar a máxima tensão normal e a máxima tensão de cisalhamento no:
- Ponto k;
Passo 1
Fala galera, essa questão aqui é uma boa questão para treinarmos tudo que aprendemos até agora, ela vai exigir de nós todos os conhecimentos que tivemos até agora para cálculo de tensões, então, antes de sairmos calculando tensões, vamos entender o que estamos calculando, porque se soubermos os tipos de esforços que agem no ponto pedido, vamos saber quais fórmulas teremos que usar, com isso, vamos esquecer a pressão e vamos imaginar isso como sendo uma barra circular com o esforço da carga P agindo nela, e vamos levar até a região com o ponto K esses esforços, com isso, vamos lá.
- Primeiro – decompor a carga P em uma força horizontal e uma vertical:
Olhando o nosso problema, podemos ver que o nosso esforço P possui um ângulo com a horizontal de , olhando o tanque de lado, teremos uma visão melhor do nosso ponto K e das forças atuantes, com isso, teremos que:
Assim temos que:
Assim temos que:
Vamos primeiro levar as cargas para o centro da seção, lembrando que a carga vertical também vai produzir um momento fletor, sendo assim teremos que:
E quando levamos esses esforços para o nível do ponto K, levaremos todos os esforços normalmente, mas vale lembrar que a carga horizontal vai gerar um momento fletor, sendo assim, teremos que:
Assim o elemento será definido como:
Definido isso, vamos agora entender como as tensões vão funcionar no nosso elemento:
Passo 2
Você lembra como era o nosso elemento infinitesimal quando o mesmo estava sujeito a um conjunto de tensões?
Porém, sempre que tratamos vasos de pressão, ou esferas de pressão, calculávamos um estado de tensões sem tensão de cisalhamento, ou seja, só tensões principais, que é exatamente isso aqui que calculamos:
Agora pensa no seguinte, olhando o nosso elemento aqui em baixo, podemos ver o seguinte:
Estamos colocando uma tensão normal vertical que comprime o nosso tanque na direção vertical, ou seja, sabemos que a tensão que ela causa é dada por:
Em que a A é dada por:
E essa tensão normal por ser uma compressão, vai diminuir a nossa tensão 2, sendo assim, teremos que:
Porém além do normal também temos um momento fletor agindo na nossa seção:
Como ele está exatamente sobre a linha neutra, ele não vai afetar em nada a nossa seção para o ponto K, porém, se fosse pedido qualquer outro ponto que não fosse o ponto K, bastaria avaliarmos se isso iria comprimir ou tracionar o ponto pedido. Essa tensão afetaria a direção da , e a fórmula que deveríamos usar, seria dada por:
E que no nosso elemento ficaria sendo:
E agora só temos mais uma força a ser avaliada que é a força horizontal, que vai gerar um cortante na nossa seção, e esse cortante gerará no nosso elemento uma tensão cisalhante dada pela seguinte equação:
E assim o nosso elemento será dado por:
E agora só falta definir essas duas tensões onde as tensões normais são calculadas da seguinte maneira.
- Sabemos que a nossa tubulação é cilíndrica e não esférica, nesse caso, usaríamos as seguintes equações:
- Sabemos que o nosso diâmetro dado, é o diâmetro externo, ou seja, precisamos descontar a espessura, sendo assim temos que:
- E sabemos que é a espessura
- é a pressão que age na nossa estrutura
Até aqui tudo certo, certo? Mas ai entra uma coisa bem legal, lembra que o enunciado quer saber as TENSÕES máximas cisalhante e normal, e agora que temos um elemento infinitesimal, como vamos fazer para determinar as tensões máximas? Só lembrar das nossas fórmulas dadas por:
Sabemos que:
Agora sim temos toda a matéria prima para resolver o nosso problema, vamos nessa??
Passo 3
Com tudo em mãos, vamos definir todas as tensões que agem no nosso elemento, e depois que tivermos o elemento em mãos, ai sim definimos as máximas tensões:
Sabemos pelo enunciado que:
Calculando o raio, temos que:
Calculando a tensão, teremos que:
Em que a A é dada por:
Pelo enunciado temos que:
Como o ponto K está sobre a linha neutra, sabemos que:
Sabemos pelo enunciado que:
O valor da seção de corte é dada por:
O momento de inércia são duas seções circulares, uma com o raio externo como positivo, e um com raio interno negativo, isso tem o objetivo de acharmos o momento de inércia da parede do tubo, então basta fazer o momento de inércia da seção total menos a inercia da seção interna, assim teremos que:
E o momento estático vai usar o mesmo conceito, mas seguindo a seguinte equação:
Áreas da seção
Distância do centroide
Lembrando que a nossa seção 1 é positiva e a 2 é negativa, para termos o momento estático apenas da parede do tanque, sendo assim, teremos que:
Substituindo teremos que:
Agora precisamos dos elementos infinitesimais, com isso, teremos que:
Passo 4
E agora que temos o elemento infinitesimal, precisamos apenas das tensões principais, e essas tensões principais são dadas pela seguinte equação.
E assim já temos a tensão máxima cisalhante agindo no nosso elemento infinitesimal.
As tensões principais normais são dadas por: