Enunciado
Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Resistência dos Materiais- Ed: 3º - Capítulo 5.Problemas Revisão - Ex. 150a
Para uma viga extrudada de seção transversal mostrada, determinar:
- A localização do centro de cisalhamento
- A distribuição das tensões de cisalhamento, causadas por uma força vertical de aplicada em .
Passo 1
Para esse tipo de questão sabemos que a nossa tensão de cisalhamento produz na seção forças que são decorrentes do diagrama de tensões. Mas ai temos o seguinte macete, imagine que na verdade a nossa seção tenha o seguinte fluxo de tensões.
Se calcularmos o momento fletor em torno de “E” teremos que:
Agora pensa o seguinte, se temos esse momento fletor agindo em torno de “E” vamos tentar equilibrar ele, e para equilibrar, precisamos descobrir qual a distância “e” que podemos colocar a nossa carga vertical para garantir que a nossa seção vá descer vertical, e não rotacionar, sendo assim, teremos que:
Calculando o momento fletor em “e” teremos que:
E igualando os momentos fletores, teremos que:
Sabemos que a força que age na seção superior e gera a força é dada pela seguinte equação:
Sabemos que:
Precisamos determinar o momento de inércia total da nossa seção, vamos seguir o seguinte passo a passo.
Passo 2
Vamos determinar primeiro o momento de inércia, para isso precisamos determinar algumas coisas, para isso temos que fazer o seguinte passo a passo.
para determinarmos o momento de inércia, precisamos fazer a seguinte conta:
- Primeiro determinamos uma divisão em seções mais simples
- Em segundo determinamos as áreas da nossa seção
- Em terceiro determinamos a distância dos centroides dos elementos até a LN, e como a seção é simétrica, está no centro da seção total, sendo assim teremos que:
- Em quarto precisamos determinar os momentos de inércia de cada uma das seções mais simples:
- Área da região acima do ponto que se quer saber o cisalhamento
- Distância do centroide da área até a LN
- Tensão
- Área da região acima do ponto que se quer saber o cisalhamento
- Distância do centroide da área até a LN
- Tensão
Agora para determinarmos o momento de inércia, precisamos fazer a seguinte conta:
Mas temos que lembrar que precisamos usar os valores de inercia da região 6 como negativa, sendo assim temos que:
Passo 3
Para o momento estático, precisamos escrever a nossa equação em função disso, porque sabemos que a nossa força está em função da tensão, sendo assim podemos fazer o seguinte:
Vamos ter que fazer esse momento estático em dois grupos, vamos primeiro fazer a parte horizontal.
Lembrando que x é a variação do comprimento da área analisada.
agora para determinar o momento estático precisamos fazer a seguinte conta:
E sabemos que a espessura de cisalhamento é dado por 6. substituindo isso na nossa equação teremos que:
Sabemos que devemos substituir isso na seguinte integral:
Sabemos que:
Logo:
Sendo assim teremos que:
Como sabemos que x varia de 0 até 80, podemos ignorar o zero e analisar apenas o 40, sendo assim teremos que:
Agora que já temos a força 1, podemos determinar a força 2, sendo assim, teremos que:
Agora vamos ver a região em diagonal.
Lembrando que S é a variação do comprimento da área analisada.
agora para determinar o momento estático precisamos fazer a seguinte conta:
E sabemos que a espessura de cisalhamento é dado por 8. Substituindo isso na nossa equação teremos que:
Sabemos que devemos substituir isso na seguinte integral:
Sabemos que:
Logo:
Sendo assim teremos que:
E sabemos que S varia entre 0 e . Com isso teremos que:
Sabemos que:
Mas vale lembrar que a força em 2 tem a contribuição de ação da força em 1, sendo assim, temos que a força em 2 na verdade será dada por:
Mas lembra o nosso objetivo? Queremos determinar a excentricidade que podemos aplicar a nossa carga, sendo assim, teremos que: