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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Resistência dos materiais - 7ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 7º - Capítulo 7.Problemas - Ex. 26

A viga é composta por três tábuas coladas nas linhas de junção A e B. Se for submetida ao carregamento mostrado na figura, determine a força de cisalhamento vertical máxima à qual resiste a aba superior da viga. Os apoios em C e D exercem somente reações verticais sobre a viga

Passo 1

Vamos começar com as reações de apoio:

Como o carregamento e as reações são simétricos

R A = R B

Aplicando as equações de equilíbrio

∑ F y = R A - 3 ⋅ 25 + R B = 0

R A = R B = 37,5

Passo 2

Podemos utilizar o método gráfico para gerar um diagrama de esforço cortante

Notamos que a maior intensidade do esforço cortante é

V = 37,5   k N

Passo 3

Vamos calcular o momento de inércia:

I = 150 ⋅ 280 3 12 - 150 ⋅ 200 3 12 + 50 ⋅ 200 3 12

I = 207,73 ⋅ 10 6   m m 4

Passo 4

Para encontrar a força sobre a aba será preciso integrar a equação do cisalhamento. Para isso, precisamos determinar uma função que represente o momento estático na região desejada.

Q ( x ) = x ⋅ 150 ⋅ 140 - x 2

Q ( x ) = 21000 x - 75 x 2  

Passo 5

Bem, sabemos por definição que tensão é força sobre área. Em termos infinitesimais:

τ = d F d A

Sabemos que a tensão de cisalhamento é dada por:

V Q ( x )   I t = d F d A

Isolando d F :

d F = V Q ( x )   I t d A

Perceba que a área da seção é quadrada. Em outras palavras: d A = t ⋅ d x

Substituindo o valor de Q ( x ) temos:

d F = V ⋅ ( 21000 x - 75 x 2   )   I t t ⋅ d x

Simplificando:

d F = V   I ( 21000 x - 75 x 2   ) ⋅ d x

Integrando

F = V   I ∫ 0 40 ( 21000 x - 75 x 2   ) ⋅ d x

Efetuando a integral:

F = V   I 21000 x 2 2 - 75 x 3 3 0 40

Aplicando os valores:

F = 37,5   k N 207,73 ⋅ 10 6   m m 4 21000 ⋅ ( 40   m m ) 2 2 - 75 ⋅ ( 40   m m ) 3 3

F = 2,74   k N

Resposta

F = 2,74   k N

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