Enunciado
Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Mecânica dos Materiais- Ed: 7º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 131
Para a viga de madeira e o carregamento mostrados na figura, determine (a) a inclinação no ponto A e (b) a deflexão no ponto C. Use E = 11,72 GPa.
Passo 1
Opaa! Fala pessoal, beleza? Bora pra mais um?! Para resolver esse exercício, vamos utilizar o método do momento de área. Para isso vamos precisar desenhar o diagrama M/EI para a viga. Depois disso, sabemos que a área entre dois pontos sob a curva M/EI representa a inclinação entre esses dois pontos. E para obter a deflexão, vamos utilizar o teorema do segundo momento de área, que nos fornece o desvio tangencial entre dois pontos. Sabendo disso, temos tudo o que precisamos para resolver o exercício, então bora lá!
Passo 2
Tá legal, vamos começar desenhando o DCL para o sistema, onde teremos:
Agora vamos aplicar o somatório de momento em relação ao ponto D para descobrir o valor da reação no ponto A, então teremos:
Agora vamos desenhar o DCL para uma seção da viga de comprimento , para obter a expressão para o momento nessa parte, então teremos:
Então, nesse caso, aplicando o somatório de momento em relação ao ponto F, teremos:
Agora, estendendo a seção até algum ponto entre B e C, teremos o seguinte DCL:
Então, nesse caso, aplicando o somatório de momento em relação ao ponto G, teremos:
Passo 3
Agora, estendendo a seção até algum ponto entre C e D, teremos o seguinte DCL:
Então, nesse caso, aplicando o somatório de momento em relação ao ponto H, teremos:
Com as equações para o momento que encontramos, podemos dividir o momento em três partes, o causado pela reação em A, que chamaremos de momento 1, o causado pela força localizada em B, que chamaremos de momento 2, e o causado pelo carregamento distribuído, que chamaremos de momento 3, então teremos:
Passo 4
Agora vamos calcular os momentos nos pontos C e D para cada um deles, para que depois possamos desenhar o diagrama M/EI, então teremos:
Então nosso diagrama M/EI será:
Agora vamos aproveitar e vamos calcular o valor do momento de inércia para a nossa viga, como temos uma seção retangular, teremos o seguinte momento de inércia:
Então, o termo EI será:
Passo 5
Então, agora vamos calcular as áreas que encontramos e os seus centroides, então vamos lá:
Passo 6
Beleza, agora, sabemos que a inclinação no ponto A pode ser encontrada através da equação 9.22 vista nessa seção, onde teremos:
E, sabemos que o desvio tangencial do apoio D em relação a A é dado por:
Juntando as áreas 1 e 2, 3 e 4, teremos:
Substituindo os valores conhecidos, chegamos em:
Então a inclinação em A será:
Passo 7
Beleeeza! Agora, sabemos que a deflexão entre dois pontos será dada através do teorema do segundo momento de área, onde para o nosso caso, teremos:
Em que é a área embaixo da curva e é a distância do centroide da área até o eixo vertical que passa pelo ponto de interesse, que no nosso caso é o ponto D. Então, utilizando as áreas que temos no nosso diagrama , teremos:
Sabendo que não teremos deflexão em A devido ao apoio e substituindo os valores conhecidos, chegamos em:
Tooop! Terminamos mais um!!