Enunciado
Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Mecânica dos Materiais- Ed: 7º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 52
Para a viga de madeira e o carregamento mostrados na figura, determine (a) a reação no apoio móvel (b) a deflexão no ponto B.
Passo 1
Opaa! Fala pessoal, beleza? Bora pra mais um?! Para resolver esse exercício, vamos utilizar a equação que governa a linha elástica, dada por:
Então, nós precisamos da equação para o momento da viga, vamos determinar essa equação com o auxílio das funções de singularidade vistas nesse capítulo, depois disso conseguimos integrar a expressão acima para obter a equação para a inclinação. Integrando novamente conseguimos obter a equação para a deflexão, aí só precisamos calcular o valor do momento de inércia para substituir os valores conhecidos nas equações que encontramos. Então bora lá!
Passo 2
Beleza! Vamos começar desenhando o DCL para o sistema, onde teremos:
Beleza! Vamos aplicar o somatório de momento em relação ao ponto A para descobrir o valor do momento no engaste A, então teremos:
Agora vamos aplicar o somatório das forças na direção y para encontrar uma expressão para a reação no engaste A, então temos:
Agora podemos escrever a equação de singularidade para o cisalhamento na viga, onde teremos:
Passo 3
Agora, nós sabemos também que a derivada da equação momento corresponde ao cisalhamento, ou seja:
Então, substituindo a expressão encontrada para o cisalhamento nessa equação, temos:
Integrando essa expressão, teremos:
Nesse caso, a constante C representa os momentos localizados aplicados no sistema, no nosso caso temos o momento no engaste em A e os momentos , então teremos:
Então nossa equação para o momento será:
Passo 4
Agora nós podemos utilizar a equação que governa o regime elástico descrita lá no passo 1 e substituir a equação obtida para o momento, então teremos:
Agora vamos integrar essa expressão, chegando em:
Agora, para descobrir o valor de vamos utilizar a equação de contorno no engaste onde sabemos que não temos inclinação, ou seja:
Substituindo esses valores na equação para a inclinação, teremos:
Agora nós vamos integrar a equação da inclinação para obter a equação da deflexão, então teremos:
Passo 5
Beleza! Agora, para encontrar o valor da constante , nós vamos usar outra condição de contorno no engaste, agora sabendo que não temos deflexão nesse ponto, teremos:
Substituindo essa condição na equação para a deflexão encontrada no passo 4, teremos:
Então, a equação para a linha elástica será:
E a equação para a inclinação será:
Passo 6
Agora para a letra (a), para determinar a reação no apoio móvel, vamos utilizar a equação para a deflexão obtida no passo 5 e calcular em , pois sabemos que nesse ponto temos a seguinte condição de contorno:
Substituindo essa condição de contorno na equação da deflexão e substituindo as expressões para e encontradas lá no passo 2, teremos:
Quase lá em, falta só a (b) agora!
Passo 7
Agora, para a letra (b), vamos usar a equação da linha elástica que encontramos lá no passo 5 e calcular para o ponto B em , lembrando de substituir também as expressões para e encontradas no passo 2 e a de encontrada no passo 6, então teremos:
Prooonto! Terminamos mais um, valeeu!