Enunciado

Para a viga prismática com o carregamento mostrado, determinar:

  1. A declividade no ponto A

Passo 1

Então galera, até aqui vimos casos de vigas simétricas, e esse caso pode acabar nos dando um medinho, mas pode ficar tranquilo, porque todas as premissas continuam iguais, a diferença está em como vamos usar ela, e para isso, sabemos de cara que precisamos das nossas reações de apoio, com isso, temos que:

∑ M B = 0

- V A 3,9 + 135 × 3,30 + 110 × 2,4 × 1,2 = 0

V A = 195,5   k N

∑ F V = 0

V A + V B - 135 - 110 × 2,4 = 0

195,5 + V B - 135 - 264 = 0

V B = 203,5   k N

E com esses dados podemos desenhar o nosso diagrama de momentos fletores da nossa viga, que ficaria da seguinte maneira:

E sabemos que devemos dividir o nosso diagrama por E I , e assim teremos que:

Passo 2

Agora, pensa no seguinte, como eu disse, quando tínhamos cargas simétricas, poderíamos considerar um ponto em que sabíamos que a deflexão era zero, porém, agora não sabemos mais onde temos essa deflexão, vamos partir direto para o que sabemos, que nesse caso é a deformação, e como a deformação vai nos ajudar a determinar a declividade? Muito simples, podemos determinar a deformação de B com relação a A da seguinte maneira:

θ B / A = θ B - θ A

E pensa no seguinte, queremos saber quanto vale o ângulo em A, certo? Vamos isolar o ângulo:

θ A = θ B - θ B / A

E se multiplicarmos tudo por L, obtemos exatamente as deformações, mas perceba que a do ângulo A eu não irei modificar.

L θ A = L θ B - L θ B / A

L θ A = y B - y B / A

E sabemos que a deformação em B é zero, assim temos que:

θ A = - y B / A L

E para determinarmos a deformação y B / A precisamos de todas as áreas entre A e B e das distâncias desses centroides ATÉ B, bem importante lembrar que sempre determinamos a distância com relação ao primeiro termo do subscrito B / A . Dividindo o nosso diagrama em áreas mais simples temos que:

A 1 = 0 , 6 × 117,3 E I × 1 2 = 35,19 E I

A 2 = 0,9 × 117,3 E I = 105,57 E I

A 3 = 171,75 E I - 117,3 E I × 0,9 × 1 2 = 24,5 E I

E para área 4, sabemos que a fórmula que determina essa área é dada por:

A 4 = 2 × 1 71 , 75 E I × 2,4 × 1 3 = 274,8 E I

E além das áreas precisamos da distancia de cada centroide até o nosso ponto B, assim teremos que:

Assim podemos definir que:

y B / A = A 1 y 1 + A 2 y 2 + A 3 y 3 + A 4 y 4

y B / A = 35,19 E I × 3,5 + 105,57 E I × 2,85 + 24,5 E I × 2 , 7 0 + 274,8 E I × 1 , 5

y B / A = 902,4 E I

Mas lembre-se que o objetivo é o ângulo, com isso teremos que:

θ A = - y B A L = - 902,4 E I 3,9 = - 231,4 E I

Sabemos que:

E = 200 G P a = 200 × 10 6   k N / m 2

I = 216 × 10 6   m m 4 = 2,16 × 10 - 4   m 4

E I = 2,16 × 10 - 4 × 200 × 10 6 = 43200   k N m 2

Substituindo:

θ A = - 231,4 43200 = - 5,36 × 10 - 3   R a d

E assim fechamos o item A).

Resposta

θ A = - 5,36 × 10 - 3   R a d

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