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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Resistência dos Materiais- Ed: 3º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 60

Uma viga retangular é feita de um material cujos módulos de elasticidade são E t à tração e E c à compressão. Mostrar que a curvatura na flexão pura é:

1 ρ = M E r I

onde:

E r = 4 E t E c E t + E c 2

Passo 1

Para chegar nesse resultado, vamos analisar essa viga genérica:

Vamos usar o lado que sofre tração como referência. Para isso, nosso fator de transformação vai ser:

n = E c E t ∴ E c = n E t

Belezinha! Agora é fazer continhas. Vem comigo!

Passo 2

Primeiro vamos encontrar a localização da linha neutra. Podemos fazer isso montando a equação de equilíbrio de momento estático.

A soma de momentos em torno do eixo neutro deve ser nulo. Cada momento é o produto entre a área e a distância entre o eixo neutro e o centroide de cada área.

Lembrando que a gente tem que usar o valor de n para a seção em que há compressão, a equação fica assim:

n x 2   x ⋅ b - h - x 2 ⋅ h - x b = 0 ∴ n x 2 - h - x 2 = 0

Resolvendo para x :

n x 2 = h - x 2 ∴ n x = h - x ∴ n x + x = h ∴ x = h n + 1

Passo 3

Vamos calcular os momentos de inércia.

I c o m p r e s s ã o = n 1 12 x 3 b + n x b x 2 2 = n b 3 h n + 1 3

I t r a ç ã o = 1 12 h - x 3 b + h - x b h - x 2 2 = b 3 h - h n + 1 3 = b 3 h n n + 1 3

Somando tudo:

I T = I c o m p r e s s ã o + I t r a ç ã o = n b 3 h n + 1 3 + b 3 h n n + 1 3

I T = n b h 3 + b h 3 n 3 2 3 n + 1 3 = n b h 3 1 + n 3 n + 1 3 = n b h 3 3 n + 1 2

Passo 4

Calma, falta pouco. Queremos provar que:

1 ρ = M E r I

Sendo que:

I = b h 3 12

Mas a gente já sabe que:

1 ρ = M E t I T

Podemos igualar essas belezinhas:

M E r I = M E t I T ∴ E r I = E t I T ∴ E r b h 3 12 = E t n b h 3 3 n + 1 2

Isolando E r :

E r = E t 4 n n + 1 2

Como n = E c / E t :

E r = 4 E c E c E t + 1 2 = 4 E c E t E c + E t 2

Ufa! Chegamos no que queríamos provar. Uhul!

Resposta

Prova nos passos

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