Enunciado
Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Mecânica dos Materiais- Ed: 7º - Capítulo 6.Problemas - Ex. 28
Uma viga com a seção transversal mostrada é submetida a uma força cortante vertical V. Determine (a) a linha horizontal ao longo da qual a tensão de cisalhamento é máxima e (b) a constante k na expressão a seguir para a tensão de cisalhamento máxima:
Em que A é a área da seção transversal da viga.
Passo 1
Tá legal! Vamos começar o exercício encontrando a localização do centroide da seção. Vamos fazer isso assumindo que ele está a uma profundidade y e escrever a sua localização em função dessa profundidade.
Com isso e com a área da seção dada, podemos encontrar o momento de área da nossa seção transversal, tudo isso ainda em função de y. Com essas informações, vamos substituir as expressões encontradas na equação para a tensão de cisalhamento na seção, dada por:
Dessa forma, teremos uma expressão para a tensão de cisalhamento em função da altura y e da geometria da seção. E, para resolver a letra (a), que pede a linha onde a tensão de cisalhamento é máxima, vamos derivar a expressão encontrada para a tensão de cisalhamento e igualar ela a zero. Pois lembrando lá de cálculo, sabemos que fazendo isso, obtemos o ponto de máximo/mínimo da função.
E para a letra (b), que pede o valor da constante k para a tensão de cisalhamento máxima, precisamos primeiro da expressão para essa tensão máxima. Então, como já encontramos a altura onde o cisalhamento é máximo na letra (a), basta agora substituir essa altura y na expressão para . Fazendo isso iremos obter a expressão para a tensão de cisalhamento máxima. Aí ficou fácil, é só comparar a equação obtida com a fornecida no enunciado para encontrar a expressão para k.
Passo 2
Ufa! Depois de tudo isso, vamos começar de vez! Vamos desenhar a seção transversal e apontar a localização do centroide (lembrando que o centroide de um triângulo fica a 1/3 da altura com relação a sua base) em função de :
Com a nossa região de interesse desenhada, vamos agora escrever a área da seção transversal:
E também vamos lembrar o valor do momento de inércia para uma seção triangular, que será:
Com isso, podemos agora escrever a área da seção transversal hachurada da figura acima, então teremos:
E, também da figura que desenhamos, podemos escrever o centroide da seção hachurada em função de , onde teremos:
Passo 3
Agora, com a área da seção e o centroide, podemos escrever o momento de área para a seção, que é dado por:
Substituindo as expressões encontradas, teremos:
Beleza, temos quase todos os termos para utilizar a equação do cisalhamento, falta somente a espessura da seção, que nesse caso, será dada por:
Beleza! Agora vamos substituir os valores conhecidos na equação do cisalhamento, teremos:
Passo 4
Agora, para encontrar a localização do cisalhamento máximo pedido na letra (a), vamos derivar a equação do cisalhamento que encontramos no passo 3 com relação a y e igualando ela a zero. Dessa forma, teremos:
Opa! Era isso que a gente queria! O cisalhamento máximo vai ocorrer na metade da altura da seção transversal.
Passo 5
Pra fechar, para a letra (b), vamos substituir a altura encontrada no passo 4 na nossa equação do cisalhamento, para descobrir qual é a tensão de cisalhamento máxima, então teremos:
Beleza! Esse é o nosso cisalhamento máximo. Agora vamos lembrar a equação que o enunciado nos deu:
Observe que não temos a área de maneira explícita na equação que encontramos, mas se você lembrar que a área do triângulo é:
Substituindo a relação para na equação que encontramos, ficamos com:
E, igualando essa equação à equação fornecida no enunciado, conseguimos encontrar o valor de k:
Proonto! Encontramos o k pedido na letra (b).