Lei de Hooke

O cabo possui um comprimento inicial e um comprimento final .

A variação do seu comprimento vai ser a diferença entre os comprimentos final e inicial:

Já a deformação é uma medida adimensional, dada pela razão entre essa variação e o comprimento original :

A fita possui um comprimento inicial .

Já o seu comprimento final vai ser igual ao perímetro externo do cano de diâmetro .

Lembra aí! O perímetro de um círculo é , onde é o raio do círculo. Reescrevendo esse perímetro em função do diâmetro , encontramos que o comprimento final da fita é igual a .

Aplicando a fórmula da deformação e substituindo , temos:

Substituindo os valores de e , temos:

Calculando tudo, isso dá:

Ambos os cabos tem comprimentos iniciais iguais .

O cabo sofre uma variação de comprimento .

Consequentemente o cabo vai sofrer uma variação de comprimento proporcional a , de acordo com a semelhança de triângulos abaixo:

Dessa semelhança de triângulos, tiramos que está para assim como está para , de tal forma que:

Agora que temos em mãos os comprimentos iniciais e as deformações para os cabos e , podemos calcular as deformações nesses cabos:

Substituindo e substituindo os valores de , e , temos:

Agora, temos que tomar um pouco de cuidado uma vez que as deformações devem ser adimensionais.

Isso significa que as unidades em cima e em baixo dessas equações precisam ser iguais.

Podemos ajeitar isso reescrevendo o comprimento de como :

Calculando tudo, isso dá:

Os dois cabos tem comprimentos iniciais iguais .

Usando os ângulos fornecidos de , conseguimos deduzir:

• que a distância vertical entre os pontos e e entre os pontos e é igual à ;
• e que a distância entre o ponto e a parede é de ,

Como mostra a imagem abaixo:

Quando o ponto se desloca para a direita, os cabos deixam de ter de comprimento e a distância entre a parede e o ponto sobe de para :

Para encontrar o comprimento final dos cabos, podemos usar o Teorema de Pitágoras:

Calculando, isso dá:

Agora que sabemos os comprimentos inicial e final , iguais para os dois cabos, podemos calcular a deformação nos cabos:

Substituindo os valores de e , temos:

Calculando tudo, isso dá:

A barra possui um comprimento inicial , uma área de seção transversal e é feita de um material com um módulo de elasticidade .

Ela está submetida a uma tração axial de , o que gera nela uma força interna normal .

O exercício quer saber o comprimento final da barra, que vai ser igual ao comprimento inicial mais a variação de comprimento causada pela tração na barra:

Agora vamos nos lembrar...

Combinando as fórmulas da Lei de Hooke (), da tensão normal média () e da deformação (), obtemos uma nova fórmula.

É uma fórmula que relaciona diretamente a variação de comprimento em uma peça com o carregamento a qual ela está submetida:

Então usando essa fórmula, vamos ter que:

Daí que podemos usar essa expressão acima para encontrar diretamente o comprimento final da barra!

Como vimos, temos que:

Substituindo os valores de , , e , temos:

Para entender a situação das unidades na divisão, podemos substituir por :

Dessa forma, vamos ter que as unidades “” e “” se cortam, e assim o resultado da divisão vai sair em !

Calculando a divisão, isso dá:

E assim temos que:

A força de compressão gera na coluna uma força interna normal , que, por sua vez, gera uma tensão normal média .

Para calcular essa tensão , podemos analisar os esforços internos na coluna para encontrar a força normal e usar as dimensões para encontrar a área da seção transversal.

Agora, de acordo com a Lei de Hooke, essa tensão vai corresponder a uma certa deformação na coluna:

Então conhecendo o módulo de elasticidade e a tensão , conseguimos encontrar a deformação na coluna, que é uma das coisas que o exercício quer que a gente determine.

Além disso, sabemos que a deformação é definida como:

E que a variação de comprimento é definida como:

Então sabendo que a coluna tinha um comprimento original , podemos usar as fórmula acima para encontrar a variação de comprimento e o comprimento final da coluna.

Vamos começar avaliando os esforços internos na coluna para encontrar o valor da força normal .

Desenhamos a coluna secionada, adicionamos a força externa e adicionamos a força interna normal apontando para fora da peça:

E em seguida, aplicamos o equilíbrio de forças na vertical para relacionar a força normal com a força externa:

Isolando , encontramos que:

Encontramos que a força normal é negativa, ou seja, ela é uma força normal de compressão.

Consequentemente, a tensão normal média e a deformação também vão ser negativas.

Com a força normal encontrada, já temos todas as informações necessárias para aplicar a Lei de Hooke:

Substituir a fórmula da tensão normal média :

E isolar a deformação :

Substituindo os valores , e , temos:

Como , as unidades dessa equação vão todas se cortar.

Calculando tudo, temos:

Essa já é uma das nossas respostas, agora vamos encontrar as outras duas!

Aplicando a fórmula da deformação :

Isolando a variação do comprimento :

Substituindo e , temos:

O que dá:

Como é o mesmo que , isso é o mesmo que:

Por última, a variação do comprimento é a diferença entre o comprimento final e o comprimento inicial :

Isolando o comprimento final , temos:

Substituindo e :

é o mesmo que ou , então:

Ou seja:

O corpo de prova tem um comprimento inicial .

Quando submetido a uma tração de , que gera nele uma força interna normal , esse corpo de prova tem uma variação de comprimento .

Além disso, o corpo de prova possui uma seção transversal circular de diâmetro .

Isso significa que a área da seção transversal do corpo de prova pode ser calculada usando a fórmula da área de um círculo em função de seu diâmetro: .

O exercício quer saber o valor do módulo de elasticidade que rege a Lei de Hooke para esse corpo de prova:

A tensão normal média e a deformação normal nessa equação podem ser substituídas pelas suas fórmulas:

Conhecemos , , e , então podemos usar essas fórmulas para encontrar o valor de !

Vamos começar então aplicando a Lei de Hooke:

E substituindo as fórmulas da tensão normal média e da deformação normal :

Em seguida, isolamos o módulo de elasticidade :

Como a área da seção transversal circular pode ser calculada em função de seu diâmetro através da fórmula , temos que:

Substituindo os valores de , , e :

Observando as unidades dessa equação, vemos que o resultado dela vai sair em , que é o mesmo que .

Tendo isso em mente e calculando tudo, obtemos que:

Nesse exercício, queremos encontrar a variação de comprimento do eixo quando ele está submetido ao carregamento mostrado.

Agora, lembra aí!

Já existe uma fórmula para encontrar a variação de comprimento em uma peça com base nas forças que atuam nela:

Nessa fórmula, é a força interna normal, é o comprimento original, é o módulo de elasticidade e é a área da seção transversal da peça. Repare que o enunciado forneceu todos esses valores!

Mas no nosso caso, o eixo tem diferentes trechos (, e ) com diferentes valores de , e .

Então a variação de comprimento total do nosso eixo vai ser a soma das variações de comprimento de cada trecho:

Aplicando a fórmula para cada trecho, e sabendo que o módulo de elasticidade é o mesmo para toda a peça, temos que:

Então para resolver o nosso exercício, precisamos identificar os valores de , e para cada trecho, e, em seguida, aplicar a fórmula acima.

Do enunciado, temos que:

.

E da figura, temos que

Só falta identificar então as forças normais , que precisam ser encontradas através de uma análise de esforços internos nas diferentes seções do eixo.

Mas atenção! A variação do comprimento de cada trecho pode ser positiva OU negativa. O que vai determinar isso é o sinal de .

Isso significa que vamos ter que respeitar as convenções de sinais das forças internas na hora de calcular os valores de , e !

Vamos começar então fazendo uma análise de esforços internos para encontrar os valores das forças internas normais nas diferentes seções do eixo.

1. Começando pelo trecho AB, essa análise fica assim:

Aplicando o equilíbrio de forças na horizontal, temos:

O que significa que:

2. Já para as seções entre B e C, temos:

Aplicando o equilíbrio de forças:

De tal forma que:

3. E, finalmente, para o trecho CD:

Aplicando o equilíbrio de forças:

O que significa que:

Encontrados os valores das forças normais , podemos aplicar a fórmula:

Substituindo todos os valores, temos:

Pausa para prestar atenção nas unidades!

Podemos substituir por . Dessa forma, as unidades e vão se cortar e só vai sobrar para o resultado a unidade (metros).

Calculando cada variação individualmente, isso fica assim:

Dá para ter uma noção melhor de cada deformação se reescrevermos elas em :

Somando as deformações individuais de cada trecho, encontramos a deformação total :

Se o trecho da barra sofrer uma variação de comprimento e se o trecho da barra sofrer uma variação de comprimento , então o deslocamento do ponto vai ser a soma dessas variações:

Essas variações de comprimento podem ser calculadas usando a fórmula:

Para tanto, vamos precisar:

• Das forças normais em cada trecho da barra, calculadas em função das forças e através de uma análise dos esforços internos em cada trecho;
• Dos comprimentos originais de cada barra, e , de acordo com a figura do exercício;
• Do módulo de elasticidade do material da barra;
• E das áreas das seções transversais de cada trecho da barra, calculadas a partir de seus diâmetros e , de acordo com a figura.

Ok, e o que é que o exercício quer?

No item , ele quer saber qual deve ser o valor da força tal que o deslocamento em seja zero:

Aí a gente olha na nossa equação do deslocamento de e vê o seguinte:

O que significa que uma variação tem que ser igual ao oposto da outra:

Isso só vai acontecer se uma barra estiver tracionada e a outra comprimida! Dessa forma os deslocamentos podem sim se anular.

Mas nós podemos encontrar essas variações em função das cargas e nas barras!

(Primeiro temos que encontrar as forças internas em função de e e usar a fórmula .)

Então desenvolvendo essa última equação, podemos encontrar qual é o valor da força tal que o deslocamento em seja zero.

Em seguida, no item , o exercício quer que a gente use o valor encontrado de para calcular o deslocamento do ponto , que vai ser igual a de comprimento do trecho :

Primeiro, temos que fazer uma análise dos esforços internos na barra para encontrar o valor da força normal em cada trecho.

Para as seções entre e , o desenho fica assim:

Aplicando o equilíbrio de forças, temos:

O que implica que:

E agora para o trecho , o desenho fica assim:

Aplicando o equilíbrio de forças:

Isolando , encontramos:

Como vimos anteriormente, para que o deslocamento em seja zero () é preciso que:

Agora que já temos as forças normais nos trechos e da barra, já estamos prontos para desenvolver essa expressão e descobrir qual é o valor de que garante essa condição.

Aplicando a fórmula para cada trecho, temos:

Não sabemos o valor das áreas das seções transversais da barra.

Mas sabemos que essas áreas são circulares e podem ser calculadas em função de seus diâmetros através da fórmula .

Sendo assim, a equação anterior fica assim:

Cortando os termos em comum dos dois lados, isso fica assim:

Substituindo as expressões encontradas para as forças normais e , temos:

O que é o mesmo que:

Queremos encontrar , então devemos isolá-lo:

Primeiro, isolamos :

E depois isolamos o próprio :

Colocando em evidência, isso fica assim:

Substituindo e substituindo os valores dos diâmetros e dos comprimentos fornecidos pela figura do exercício, temos:

Calculando tudo, isso dá:

Que é a resposta do item !

Para o item , vamos usar o valor encontrado para no item para calcular o deslocamento do ponto , que é igual à variação de comprimento do trecho :

Usando a fórmula para o trecho :

Descrevendo a área em função de seu diâmetro :

Como :

Substituindo os valores de , , , e :

Como , as unidades e vão se cortar e o resultado vai sar em (metros).

Calculando tudo:

Esse número é bem pequeno, então é uma boa reescrever ele em :

Ou seja, o ponto se deslocou para baixo.