Exercícios Resolvidos de Método de Cross

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Enunciado

Para o nó abaixo determine o momento em cada uma das barras utilizando o método de distribuição de momentos sabendo que um momento M externo atua sobre o nó A. Considere J = 40 e os comprimentos das barras iguais a l 1 = 5 , l 2 = 3 e l 3 = 8 .

Passo 1

Essa questão pede para acharmos os momentos distribuídos nas barras 1,2 e 3. Todas conectadas ao nó A . Para isso vamos considerar o nó A um ponto de engaste, essa é a primeira coisa a ser feita.

Depois vamos utilizar a tabela de grandezas auxiliares para barras com inércia constante para achar as constantes de rigidez de cada barra. Com essas constantes vamos achar o coeficiente de distribuição. Lembrando que o coeficiente de distribuição é igual à constante de rigidez da barra sobre a soma das constantes:

d i = k i ∑ k i

Com o coeficiente de distribuição vamos achar os momentos distribuídos pelas barras =D

M i = d i × M

Passo 2

Vamos transformar então o nó A num engaste, representamos isso por um simples quadrado:

Agora vamos olhar a tabela a qual o problema se refere:

Perceba que quando temos ambos os lados engastados temos que a rigidez relativa vale:

k = J l

E quando um lado é engastado e outro rotulado:

k = 3 4 × J l  

Comoas barras 1 e 3 são engastadas vamos ter:

k 1 = J 1 l 1 = 40 5 = 8

k 3 = J 3 l 3 = 40 8 = 5

E para a barra 2 vamos ter um lado rotulado e outro engastado então temos:

k 2 = 3 4 × 40 3 = 10

Passo 3

Com os coeficientes de rigidez relativa vamos poder calcular os coeficientes de distribuição, que é a parte mais essencial desse problema! Lembrando que:

d i = k i ∑ k i

Temos de fazer isso para cada nó envolvido, como há apenas um nó:

d 1 = k 1 k 1 + k 2 + k 3 = 8 8 + 10 + 5 = 0,35

d 2 = k 2 k 1 + k 2 + k 3 = 10 8 + 10 + 5 = 0,43

d 3 = k 3 k 1 + k 2 + k 3 = 5 8 + 10 + 5 = 0 , 22

obs: Aqui aproximamos para duas casas decimais beleza, pessoal?

Repare que a soma de todos esses valores da 1. Isso sempre vai acontecer dentro um nó, porque o momento deve ser distribuído entre todos eles e não pode faltar nem sobrar nada.

Agora vamos representar esses termos em cada nó da seguinte forma:

Passo 4

Finalmente vamos pegar o momento e fazer a distribuição.

M i = d i × M

Assim vamos calcular para a barra 1:

M 1 = d 1 × M = 0,35 × 70 = 24,5   k N . m

Para a barra 2:

M 2 = d 2 × M = 0,43 × 70 = 30,1   k N . m

Para a barra 3:

M 3 = d 3 × M = 0,22 × 70 = 15,4   k N . m

Representando num esquema:

Perceba que mantivemos o mesmo sentido do momento original e o seu módulo, já que a soma de todos esses momentos distribuídos vale 70   k N . m .

Fim da questão =D

Resposta