Exercícios Resolvidos de Método de Cross

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Enunciado

Para o carregamento e a estrutura abaixo encontre os momentos atuantes nos pontos A, B, C e D utilizando o método de Cross.

Passo 1

Essa questão pede para acharmos os momentos autantes nas barras, mais precisamente nos pontos dados.

Ao analisar a estrutra nós percebemos que se trata de uma estrutura hiperestática, ou seja, não pode ser resolvida utilizando aquelas equações da estática (somatório das forças e momentos).

Para resolver o exercício pelo método de Cross a gente vai fazer o seguinte passo a passo:

  1. Substituir o nó A por um sistema engastado e com auxílio da tabela de momentos especificar o momento aplicado na barra A B , sujeita à carga.
  2. Calcular os coeficientes de distribuição entorno do nó.
  3. Aplicar o somatório dos momentos em relação ao ponto A “liberando” esse ponto, observando que o momento depende de fatores geométricos e materiais das barras.
  4. Calcular os momentos de cada barra segundo os fatores acima apresentados.

Passo 2

A primeira coisa que a gnete faz é a substituição do nó A pelo sistema engastado, como se todas três barras estivessm biengastadas mesmo! Podemos representar isso por um quadrado em A :

Vamos então olhar na tabela de “Grandezas auxiliares para battas com inércia constante J” e achar o momento. Como temos o caso de uma viga biengastada vamos ter:

Logo o momento atuante na barra 1 será igual a :

M A = q l 2 12

M B = - q l 2 12

Substituindo os valores:

M A = ( 2 × 7,5 2 ) 12 = 9,38   t . m

M B = - ( 2 × 7,5 2 ) 12 = - 9,38   t m

Perceba então que a barra exerce um momento de 9,38   t . m sobre o ponto A .

Passo 3

Os coeficientes de distribuição são os coeficientes que dizem quanto da carga-momento é aplicada em cada barra e são calculados como:

d i = k i ∑ k i

Onde k é a rigidez relativa de cada barra. Esse valor da rigidez relativa também é encontrado numa tabela de “Grandezas auxiliares para barras com inércia constante J ”. Retirando o caso da viga biengastada da tabela temos:

Observe que necessitamos apenas do termo k A . Agora vamos calcular a rigidez relativa de cada barra (lembrando que todas estão biengastadas), o valor de J = 30 foi dado no problema e l é o comprimento da barra:

k 1 = J 1 l 1 = 30 7,5 = 4

k 2 = J 2 l 2 = 30 3 = 10

k 3 = J 3 l 3 = 30 5 = 6

(Para esse última caso achamos l 3 por meio de pitágoras, ok)!?

Então como temos todos os k ' s agora podemos achar o termo d i de cada barra:

d 1 = k 1 k 1 + k 2 + k 3 = 4 20 = 0,2

d 2 = k 2 k 1 + k 2 + k 3 = 10 20 = 0,5

d 3 = k 3 k 1 + k 2 + k 3 = 6 20 = 0,3

Agora a gente coloca esses dados em conjunto com os momentos M A e M B no nosso desenho da seguinte forma:

Passo 4

Agora vamos “liberar” o ponto A do engaste e ao fazermos isso o momento M A se tornará uma carga-momento aplicado em A e cada barra aplicará um momento M 1 ,   M 2 e M 3 . Vai ficar mais ou menos assim:

obs: Repare bem nos sentidos! O sentido horário é positivo e o anti-horário é negativo, isso é muito importante porque as tabelas que utilizamos utilizam as mesmas convenções de sentido!

Agora nós vamos aplicar a relação entre os momentos das barras 1 , 2 e 3 ; essa relação é da seguinte forma:

M i = d i   .   M

Onde M é a carga-momento (nesse caso igual a M A = 9,38   t . m ) e d i é um fator que diz quanto de M será aplicado numa barra i . Como já calculamos o d i ficar fácil achar os momentos:

M 1 = d 1   .   M = 0,2 × - 9,38 = - 1,876

M 2 = d 2   .   M = 0,5 × - 9,38 = - 4,69

M 3 = d 3   .   M = 0,3 × - 9,38 = - 2,814

Pronto! Agora temos os momentos que atuam em cada barra! Repare que os valores são negativos porque estão no sentido anti-horário!

Passo 5

Mas a gente achou diversos momentos que atuam nos pontos, o importante na análise do problema é achar o momento fletor resultante. Para isso a gente vai deduzir algumas parcelas, perceba que que para as barras 2 e 3 não precisamos fazer isso, apenas para a barra AB, que vamos ter:

M A B = M A - M 1

M A B = + 9,38 - 1,876 = + 7,504

Assim vamos obter o seguinte:

Esses são os momentos imediatamente próximos do ponto A , nós precisamos também dos momentos relacionados aos pontos B , C e D . Que são achados utilizando novamente a tabela de “Grandezas auxiliares para barras com inércia constante J ”. Retirando o caso da viga biengastada da tabela temos:

Olha para o termo t A - B = + 1 / 2 esse termo é chamado de coeficiente de transferência e é o termo que diz quanto do momento em A vai ser transferido para B . No nosso caso todos são iguais a 1 / 2 então para as barras 2 e 3 basta dividir por 2 :

M C = M 3 2 = 2,814 2 = 1,407

M D = M 2 2 = 4,690 2 = 2,345

Para a barra 1 precisamos considerar também o momento M B = - 9,38 que vem do engaste

M ' B = - M B + M 1 2

M ' B = - 9,38 + 1,876 2 = - 10,318

Colocando no diagrama vamos ter:

Resposta