Exercícios Resolvidos de Método de Cross

Ver Teoria

Enunciado

Para o sistema abaixo encontre o valor dos momentos nos pontos B, C e D. Considere J = 40 e os comprimentos das barras iguais a l 1 = 5 , l 2 = 3 e l 3 = 8 .

Passo 1

Essa questão pede para acharmos os momentos nos pontos A, B e C; ou seja, os pontos de apoio do sistema. Para isso vamos considerar o nó A um ponto de engaste, essa é a primeira coisa a ser feita. Em seguida vamos utilizar a tabela de engastamento perfeito para saber qual será o momento gerado por esse carregamento.

Depois vamos utilizar a tabela de grandezas auxiliares para barras com inércia constante para achar as constantes de rigidez de cada barra. Com essas constantes vamos achar o coeficiente de distribuição. Lembrando que o coeficiente de distribuição é igual à constante de rigidez da barra sobre a soma das constantes:

d i = k i ∑ k i

Com o coeficiente de distribuição vamos achar os momentos distribuídos pelas barras =D

M i = d i × M

Por fim vamos aplicar o coeficiente de transmissão que nos motrará qual será o momento efetivo nos apoios!

Passo 2

Vamos transformar então o nó A num engaste, representamos isso por um simples quadrado:

Agora vamos descobrir quanto de momento essa carga irá gerar, através da tabela de engastamento perfeito:

Perceba que temos o caso de biengastamento então vamos ter para A :

M A = + q l 2 12

E para D

M D = - q l 2 12

Calculando esses valores:

M A = + 52 , 2 5 × 8 2 12 = 2 78,6   k N . m

E para D :

M D = - M A = - 2 78,6   k N . m

Ou seja podemos transformar esse problema em um análogo:

Reparem que quando temos um valor negativo de momento o sentido fica anti-horário!

Passo 3

Pessoal, esse problema ficou muito parecido com o problema da questão 1 não é mesmo? Então vamos prosseguir da mesma maneira, a única coisa que vai mudar é o sentido do momento.

Agora vamos olhar a tabela de grandezas auxiliares para barras com inércia constante afim de poder calcular o coeficiente de distribuição:

Perceba que quando temos ambos os lados engastados temos que a rigidez relativa vale:

k = J l

E quando um lado é engastado e outro rotulado:

k = 3 4 × J l  

Comoas barras 1 e 3 são engastadas vamos ter:

k 1 = J 1 l 1 = 40 5 = 8

k 3 = J 3 l 3 = 40 8 = 5

E para a barra 2 vamos ter um lado rotulado e outro engastado então temos:

k 2 = 3 4 × 40 3 = 10

Passo 4

Com os coeficientes de rigidez relativa vamos poder calcular os coeficientes de distribuição, que é a parte mais essencial desse problema! Lembrando que:

d i = k i ∑ k i

Temos de fazer isso para cada nó envolvido, como há apenas um nó:

d 1 = k 1 k 1 + k 2 + k 3 = 8 8 + 10 + 5 = 0,35

d 2 = k 2 k 1 + k 2 + k 3 = 10 8 + 10 + 5 = 0,43

d 3 = k 3 k 1 + k 2 + k 3 = 5 8 + 10 + 5 = 0 , 22

obs: Aqui aproximamos para duas casas decimais beleza, pessoal?

Repare que a soma de todos esses valores da 1. Isso sempre vai acontecer dentro um nó, porque o momento deve ser distribuído entre todos eles e não pode faltar nem sobrar nada.

Agora vamos representar esses termos em cada nó da seguinte forma:

Passo 5

Finalmente vamos pegar o momento e fazer a distribuição.

M i = d i × M

Assim vamos calcular para a barra 1:

M 1 = d 1 × M = 0,35 × 278,6 = 97,5   k N . m

Para a barra 2:

M 2 = d 2 × M = 0,43 × 278,6 = 119,8   k N . m

Para a barra 3:

M 3 = d 3 × M = 0,22 × 278,6 = 61,3   k N . m

Representando num esquema:

Perceba que mantivemos o mesmo sentido do momento original e o seu módulo, já que a soma de todos esses momentos distribuídos vale 70   k N . m .

Até aqui foi bem parecido com o problema anterior. Mas além da carga distribuída vamos olhar como esses momentos em torno do nó A serão distribuídos para os apoios.

Passo 6

Para achar o coeficiente de distribuição vamos ter que olhar novamente na tabela de grandezas auxiliares para barras com inércia constante:

Ta vendo o termo t A - B esse é o termo de transmissão e vai valer 0,5 para vigas biengastadas e será nulo para vigas rotuladas (exatamente porque a rótula permite rotação).

Sendo assim a transmissão para B e D será igual à metade do valor em A :

M B = 97,5 2 = 48,75   k N . m

M D = 61,3 2 = 30,65   k N . m

E será nula para C já que C é rotulado (coitadinho.. não rotulem seus amigos kkk)

Assim vamos ter:

Esses são os momentos transmitidos maaaasss a gente quer os momentos nos apoios e não os momentos transmitidos de fato. Se lembra que em D também exisitia um momento proveniente da carga? Esse momento valia:

M D = - 278,6   k N . m

Então temos de somar esse momento M D ao momento transmitido ao ponto D :

M D r e a l = - 278,6 - 30,65 = - 309,25   k N

Assim o resultado final será:

Resposta