Exercícios Resolvidos de Método de Cross

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Enunciado

Para o carregamento e a estrutura abaixo encontre os momentos atuantes nos pontos A, B, C e D utilizando o método de Cross. Considere J = 48 . Obs: Utilize duas casas decimais.

Passo 1

Essa questão pede para acharmos os momentos autantes nas barras, mais precisamente nos pontos dados.

Ao analisar a estrutra nós percebemos que se trata de uma estrutura hiperestática, ou seja, não pode ser resolvida utilizando aquelas equações da estática (somatório das forças e momentos).

Para resolver o exercício pelo método de Cross a gente vai fazer o seguinte passo a passo:

  1. Substituir os nós por sistemas engastados e com auxílio da tabela de momentos especificar o momento aplicado em cada seção da viga sujeita à carga.
  2. Calcular os coeficientes de distribuição entorno do nó.
  3. Aplicar o somatório dos momentos em relação aos pontos “liberando” tais pontos observando que o momento depende de fatores geométricos e dos materiais das barras.
  4. Calcular os momentos de cada barra segundo os fatores acima apresentados.

Passo 2

A primeira coisa que a gnete faz é a substituição dos nós pelo sistema engastado, como se todas seções da viga estivessm biengastadas mesmo! Para essa representação utilizamos um quadrado, veja:

obs: Repare que não é precisa mudar a condição de A , isso ocorre simplesmente pelo fato de A se localizar na ponta da viga e queremos apenas os momentos internos!

Vamos então olhar na tabela de “Grandezas auxiliares para battas com inércia constante J” e achar o momento. Aqui temos tanto o caso biengastado quanto o caso de um lado engastado e outro rotulado, vamos olhar a tabelinha:

Para a barra 1 temos a terceira condição de contorno (ou bordo) então vamos ter:

M B = - q l 2 8

M A = 0

Como a carga vale q = 3   t o n / m e o comprimento é igual a l = 8 vamos ter:

M B = - 3 × 8 2 8 = - 24   t o n . m

Para a barra 2 vamos ter a primeira condição de contorno, portanto:

M B = + q l 2 12

M C = - q l 2 12

Como a carga vale q = 3   t o n / m e o comprimento é igual a l = 6 vamos ter:

M B = + 3 × 6 2 12 = + 9

M C = - 3 × 6 2 12 = - 9

Finalmente para a barra 3 também vamos ter a primeira condição de contorno, logo:

M C = + q l 2 12

M D = - q l 2 12

Como a carga vale q = 3   t o n / m e o comprimento é igual a l = 8 vamos ter:

M C = + 3 × 8 2 12 = + 16

M D = - 3 × 8 2 12 = - 16

Agora a gente pode substituir o carregamento distribuído pelos momentos que calculamos:

Agora vamos calcular os coeficientes de distribuição.

Passo 3

Os coeficientes de distribuição são os coeficientes que dizem quanto da carga-momento é aplicada em cada barra e são calculados como:

d i = k i ∑ k i

Onde k é a rigidez relativa de cada barra. Esse valor da rigidez relativa também é encontrado numa tabela de “Grandezas auxiliares para barras com inércia constante J ”. Retirando o caso da viga biengastada da tabela temos:

Observe que necessitamos apenas do termo k A . Agora vamos calcular a rigidez relativa de cada barra. O valor de J = 48 foi dado no problema e l é o comprimento da barra:

Para a barra 1 vamos ter um lado engastado e outro rotulado, então:

k 1 = 3 4 × J 1 l 1

k 1 = 3 4 × 48 8 = 4,5

Para a barra 2 vamos ter ambos os lados engastados, então:

k 2 = J 2 l 2

k 2 = 48 6 = 8

Para a barra 1 vamos ter ambos os lados engastados, então:

k 3 = J 3 l 3

k 3 = 48 8 = 6

Então como temos todos os k ' s agora podemos achar o termo d i de cada barra. Importando lembrar que isso se refere a cada nó então vamos ter, em torno do nó B :

d 1 = k 1 k 1 + k 2 = 4,5 4,5 + 8 = 0,36

d 2 = k 2 k 1 + k 2 = 8 4,5 + 8 = 0,64

Em torno do nó A :

d 2 = k 2 k 2 + k 3 = 8 8 + 6 = 0,57

d 3 = k 3 k 2 + k 3 = 6 8 + 6 = 0,43

Agora a gente coloca esses dados em conjunto com os momentos calculados no nosso desenho da seguinte forma:

Passo 4

Agora vamos começar o nosso processo iterativo! Diferentemente da primeira questão deste assunto (que tinha apenas um nó) esse problema tem mais de um nó, por isso é necessária a iteração!

O passo zero é colocar os dados de momentos que já calculamos, vai ficar assim:

Agora vamos dar o primeiro passo, que consiste em liberar a rotação do nó B , desta forma uma carga-momento deverá ser aplicada sobre B de forma a permanecer em equilíbrio, o valor dessa carga-momento é igual à diferença entre os momentos de um lado e do outro:

M = - 24 + 9

M = - 15

Então é como se a gente tivesse isso aqui:

Mas essa carga momento de - 15 gera uma momento de igual valor e sentido contrário ( + 15 ) que é distribuido para os dois lados do nó B pelo coeficiciente de distribuição d . E vamos obter:

M 1 = 15 × 0,36 = 5,4

M 2 = 15 × 0,64 = 9,6

Pode até reparar que a soma desses momentos é igual a 15 . Então agora vamos obter:

Mas o passo 1 ainda não acabou porque existe ainda o coeficiente de transmissão! O que quer dizer que parte do momento gerado no nó B e aplicado a barra 2 (igual a 9,6 ) irá ser transmitido para o nó C pela própria barra 2.

Esse coeficiente de transmissão está explicitado na tabela de grandezas auxiliares para barras com inércia constante e é o termo t A - B :

Como temos o caso biengastado ele vale:

t A - B = 0,5

Logo a transmissão será igual à metade do valor:

M = 9,6 × 0,5 = 4,8

Colocando no nosso diagrama:

Pronto! O passo 1 está completo e o nosso nó B está em equilíbrio por isso marcamos em negrito os valores que obtivemos em B vamos fazer isso só para ficar mais evidente, não é super necessário para a resolução da questão.

Observe que, por se tratar de um nó rotulado, nenhum momento é transmitido ao nó A .

Passo 5

Agora vamos para o passo 2 que consiste em fazer a mesma coisa que fizemos para o nó B mas para o nó C que ainda não está em equilíbrio.

Agora vamos liberar C e ao fazer isso a carga-momento que aparece será igual à diferença entre os momentos, fazendo o cáclculo vamos obter:

M = - 9 + 16 + 4,8 = 11,8

Desta forma os momentos que aparecem no nós C devem compensar o momento de 11,8 logo valerão - 11,8 e terão valor conforme o coeficiente de distribuição desse nó:

M 2 = - 11,8 × 0,57 = - 6,72

M 3 = - 11,8 × 0,43 = - 5,08

Mostrando no desenho

Agora a gente tem que lembrar do coeficiente de transmissão, que vale 0,5 para ambas as barras 1 e 2 pelo fato das duas estarem biengastadas.

Pronto! Agora temos o ponto C em equilíbrio e assim como fizemos no passo anterior marcamos em negrito os valores.

Mas aconteceu uma parada né, o nó B recebeu um momento transmitido pela barra 2. Então o nó B agora não está mais em equilíbrio.

Por esse motivo vamos voltar ao nó B e aplicar os mesmos princípios! Repare que iteração começa a ficar mais evidente e além disso os valores está diminundo, ou seja, convergindo. Graças a deus né!!

Passo 6

Agora a carga-momento aplicado em B é igual ao próprio valor recebido pelo nó M = - 3,36 , portanto, os momentos internos atuantes devem ter valor de M = 3,36 para equilibrar e serão distribuídos conforme os coeficientes de distribuição.

M 1 = 3,36 × 0,36 = 1,21

M 2 = 3,36 × 0,64 = 2,15

Com isso o nosso nó B volta ao equilíbrio:

Mas o valor de 2,15 será transmitido para o nó C :

Já reparou no que aconteceu né!!! Já reparou né!!!!

O nó C agora saiu do equilíbrio!! PQP que sacoooo....

Isso é chatão eu sei, mas ta indo, acredite!! Tenha MUITA FÉ!

Passo 7

Pessoal agora vamos fazer a mesma coisa, liberar o nó C aí vai ter uma carga-momento no valor igual ao transmitido pela barra de 1,07 e com isso os momentos internos terão de ser iguais a - 1,07 e serão distribuídos conforme os coeficientes de distribuição. NADA DE NOVO NO HORIZONTE, CABRAL!!

M 2 = - 1,07 × 0,57 = - 0,61

M 3 = - 1,07 × 0,43 = - 0,46

obs: Rolou uma aproximação ali, ok? Isso não tem muito problema porque o exercício muitas vezes vai falar para aproximar até a segundo casa decimal, iterar 3 vezes ou coisas desse gênero. Até porque se não houvesse nenhum limite desse tipo iríamos ficar aqui para sempre!

Mostrando na nossa figura:

Esses valores serão transmitidos pelas barras 2 e 3:

Passo 8

Reparem que o nó B não está mais em equilíbrio portanto vamos fazer o mesmo processo novamente. A carga-momento vale - 0,30 , logo o momento interno vale 0,3 e será distribuído:

M 1 = 0,3 × 0,36 = 0,11

M 2 = 0,3 × 0,64 = 0,19

No desenho:

Aplicando a transmissão:

Passo 9

Voltamos para o ponto C que terá a carga-momento no valoe de 0,09 portanto os momentos internos têm valor - 0,09 que serão distribuídos:

M 2 = - 0,09 × 0,57 = - 0,05

M 3 = - 0,09 × 0,43 = - 0,04

No desenho:

Aplicando a transmissão:

Passo 10

Agora voltando ao ponto B nós vamos ter uma carga-momento de - 0,02 portanto os momentos internos são de 0,02 e vão valer:

M 1 = 0,02 × 0,36 = 0,01

M 2 = 0,02 × 064 = 0,01

Viu como é importante estabelecer um limite de aproximação! A nossa iteração acaba aqui porque houve equilíbrio dos dois lados e vamos representar no desenho como:

Passo 11

Agora que a nossa iteração acabou, como vamos saber qual o valor do momento de fato?

Agora é só somar todos os termos de cada coluna, fazer a chamada superposição. Assim vamos obter:

Para o nó B , pelo lado esquerdo (referente à barra 1):

∑ M B = - 24 + 5,4 + 1,21 + 0,11 + 0,01 = - 17,27

Agora pelo lado direito (referente à barra 2):

∑ M B = 9 + 9,6 - 3,36 + 2,15 - 0,30 + 0,19 - 0,02 + 0,01 = 17,27

Viu que o resultado deu igual em módulo e com sentidos opostos? Isso quer dizer que o problema ficou certinho!! Na verdade nem precisamos calcular para ambos os lados, mas fiz isso para mostrar que deu certo!

Agora para o nó C , pela direita (referente à barra 3):

∑ M C = 16 - 5,08 - 0,46 - 0,04 = 10,42

Finalmente para o nó D :

∑ M D = - 16 - 2,54 - 0,23 - 0,02 = - 18,79

Pessoal lembrem-se que o sentido horário é o positivo hein!!!

Assim vamos ter:

Resposta