Para o carregamento e a estrutura abaixo encontre os momentos atuantes nos pontos A, B, C e D utilizando o método de Cross. Considere . Obs: Utilize duas casas decimais.

A primeira coisa que a gnete faz é a substituição dos nós pelo sistema engastado, como se todas seções da viga estivessm biengastadas mesmo! Para essa representação utilizamos um quadrado, veja:

obs: Repare que não é precisa mudar a condição de , isso ocorre simplesmente pelo fato de se localizar na ponta da viga e queremos apenas os momentos internos!

Vamos então olhar na tabela de “Grandezas auxiliares para battas com inércia constante J” e achar o momento. Aqui temos tanto o caso biengastado quanto o caso de um lado engastado e outro rotulado, vamos olhar a tabelinha:

Para a barra 1 temos a terceira condição de contorno (ou bordo) então vamos ter:

Como a carga vale e o comprimento é igual a vamos ter:

Para a barra 2 vamos ter a primeira condição de contorno, portanto:

Como a carga vale e o comprimento é igual a vamos ter:

Finalmente para a barra 3 também vamos ter a primeira condição de contorno, logo:

Como a carga vale e o comprimento é igual a vamos ter:

Agora a gente pode substituir o carregamento distribuído pelos momentos que calculamos:

Agora vamos calcular os coeficientes de distribuição.

Os coeficientes de distribuição são os coeficientes que dizem quanto da carga-momento é aplicada em cada barra e são calculados como:

Onde é a rigidez relativa de cada barra. Esse valor da rigidez relativa também é encontrado numa tabela de “Grandezas auxiliares para barras com inércia constante ”. Retirando o caso da viga biengastada da tabela temos:

Observe que necessitamos apenas do termo . Agora vamos calcular a rigidez relativa de cada barra. O valor de foi dado no problema e é o comprimento da barra:

Para a barra 1 vamos ter um lado engastado e outro rotulado, então:

Para a barra 2 vamos ter ambos os lados engastados, então:

Para a barra 1 vamos ter ambos os lados engastados, então:

Então como temos todos os agora podemos achar o termo de cada barra. Importando lembrar que isso se refere a cada nó então vamos ter, em torno do nó :

Em torno do nó :

Agora a gente coloca esses dados em conjunto com os momentos calculados no nosso desenho da seguinte forma:

Agora vamos começar o nosso processo iterativo! Diferentemente da primeira questão deste assunto (que tinha apenas um nó) esse problema tem mais de um nó, por isso é necessária a iteração!

O passo zero é colocar os dados de momentos que já calculamos, vai ficar assim:

Agora vamos dar o primeiro passo, que consiste em liberar a rotação do nó , desta forma uma carga-momento deverá ser aplicada sobre de forma a permanecer em equilíbrio, o valor dessa carga-momento é igual à diferença entre os momentos de um lado e do outro:

Então é como se a gente tivesse isso aqui:

Mas essa carga momento de gera uma momento de igual valor e sentido contrário () que é distribuido para os dois lados do nó pelo coeficiciente de distribuição . E vamos obter:

Pode até reparar que a soma desses momentos é igual a . Então agora vamos obter:

Mas o passo 1 ainda não acabou porque existe ainda o coeficiente de transmissão! O que quer dizer que parte do momento gerado no nó e aplicado a barra 2 (igual a ) irá ser transmitido para o nó pela própria barra 2.

Esse coeficiente de transmissão está explicitado na tabela de grandezas auxiliares para barras com inércia constante e é o termo :

Como temos o caso biengastado ele vale:

Logo a transmissão será igual à metade do valor:

Colocando no nosso diagrama:

Pronto! O passo 1 está completo e o nosso nó está em equilíbrio por isso marcamos em negrito os valores que obtivemos em vamos fazer isso só para ficar mais evidente, não é super necessário para a resolução da questão.

Observe que, por se tratar de um nó rotulado, nenhum momento é transmitido ao nó .

Agora vamos para o passo 2 que consiste em fazer a mesma coisa que fizemos para o nó mas para o nó que ainda não está em equilíbrio.

Agora vamos liberar e ao fazer isso a carga-momento que aparece será igual à diferença entre os momentos, fazendo o cáclculo vamos obter:

Desta forma os momentos que aparecem no nós devem compensar o momento de logo valerão e terão valor conforme o coeficiente de distribuição desse nó:

Mostrando no desenho

Agora a gente tem que lembrar do coeficiente de transmissão, que vale para ambas as barras 1 e 2 pelo fato das duas estarem biengastadas.

Pronto! Agora temos o ponto em equilíbrio e assim como fizemos no passo anterior marcamos em negrito os valores.

Mas aconteceu uma parada né, o nó recebeu um momento transmitido pela barra 2. Então o nó agora não está mais em equilíbrio.

Por esse motivo vamos voltar ao nó e aplicar os mesmos princípios! Repare que iteração começa a ficar mais evidente e além disso os valores está diminundo, ou seja, convergindo. Graças a deus né!!

Agora a carga-momento aplicado em é igual ao próprio valor recebido pelo nó , portanto, os momentos internos atuantes devem ter valor de para equilibrar e serão distribuídos conforme os coeficientes de distribuição.

Com isso o nosso nó volta ao equilíbrio:

Mas o valor de será transmitido para o nó :

Já reparou no que aconteceu né!!! Já reparou né!!!!

O nó agora saiu do equilíbrio!! PQP que sacoooo....

Isso é chatão eu sei, mas ta indo, acredite!! Tenha MUITA FÉ!

Pessoal agora vamos fazer a mesma coisa, liberar o nó aí vai ter uma carga-momento no valor igual ao transmitido pela barra de e com isso os momentos internos terão de ser iguais a e serão distribuídos conforme os coeficientes de distribuição. NADA DE NOVO NO HORIZONTE, CABRAL!!

obs: Rolou uma aproximação ali, ok? Isso não tem muito problema porque o exercício muitas vezes vai falar para aproximar até a segundo casa decimal, iterar 3 vezes ou coisas desse gênero. Até porque se não houvesse nenhum limite desse tipo iríamos ficar aqui para sempre!

Mostrando na nossa figura:

Esses valores serão transmitidos pelas barras 2 e 3:

Reparem que o nó não está mais em equilíbrio portanto vamos fazer o mesmo processo novamente. A carga-momento vale , logo o momento interno vale e será distribuído:

No desenho:

Aplicando a transmissão:

Voltamos para o ponto que terá a carga-momento no valoe de portanto os momentos internos têm valor que serão distribuídos:

No desenho:

Aplicando a transmissão:

Agora voltando ao ponto nós vamos ter uma carga-momento de portanto os momentos internos são de e vão valer:

Viu como é importante estabelecer um limite de aproximação! A nossa iteração acaba aqui porque houve equilíbrio dos dois lados e vamos representar no desenho como:

Agora que a nossa iteração acabou, como vamos saber qual o valor do momento de fato?

Agora é só somar todos os termos de cada coluna, fazer a chamada superposição. Assim vamos obter:

Para o nó , pelo lado esquerdo (referente à barra 1):

Agora pelo lado direito (referente à barra 2):

Viu que o resultado deu igual em módulo e com sentidos opostos? Isso quer dizer que o problema ficou certinho!! Na verdade nem precisamos calcular para ambos os lados, mas fiz isso para mostrar que deu certo!

Agora para o nó , pela direita (referente à barra 3):

Finalmente para o nó :

Pessoal lembrem-se que o sentido horário é o positivo hein!!!

Assim vamos ter: