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Exercícios Resolvidos de Método de Gauss-Jacobi

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Exercício 61234578

Enunciado

Em cada sistema linear abaixo, verifique o critério das linhas e resolva pelo método de Gauss-Jacobi com uma precisão ε = 10 - 4 .

a 10 x 1 + 1 x 2 + 1 x 3 = 12 1 x 1 + 10 x 2 + 1 x 3 = 12 1 x 1 + 1 x 2 + 10 x 3 = 12

b 4 x 1 - 1 x 2 + 0 x 3 + 0 x 4 = 1 - 1 x 1 + 4 x 2 - 1 x 3 + 0 x 4 = 1 0 x 1 - 1 x 2 + 4 x 3 - 1 x 4 = 1 0 x 1 + 0 x 2 - 1 x 3 + 4 x 4 = 1

Passo 1

a Aplicando o critério das linhas temos:

α 1 = 2 10 < 1

α 2 = 2 10 < 1

α 3 = 2 10 < 1

Então, o critério das linhas é atendido e a convergência é garantida.

Passo 2

As funções de iteração são:

x 1 k + 1 = 12 - x 2 k - x 3 k 10

x 2 k + 1 = 12 - x 1 k - x 3 k 10

x 3 k + 1 = 12 - x 1 k - x 2 k 10

Agora precisamos de um chute inicial. Não precisa nem pensar muito pra perceber que a solução é 1,1 , 1 né? Então vamos usar como aproximação inicial x 0 = x 1 0 , x 2 0 , x 3 0 = 0.9,1.1,0.9 com ε = 0.0001 .

Iteração 1 :

x 1 1 = 12 - x 2 0 - x 3 0 10

x 1 1 = 1

x 2 1 = 12 - x 1 0 - x 3 0 10

x 2 1 = 1.02

x 3 1 = 12 - x 1 0 - x 2 0 10

x 3 1 = 1

Então temos x 1 = 1,1.02,1 .

Critério de Parada:

x 1 1 - x 1 0 = 0.1 > ε

Não atingimos o critério, então continuamos as iterações.

Iteração 2 :

x 1 2 = 12 - x 2 1 - x 3 1 10

x 1 2 = 0.998

x 2 2 = 12 - x 1 1 - x 3 1 10

x 2 2 = 1

x 3 2 = 12 - x 1 1 - x 2 1 10

x 3 2 = 0.998

Então temos x 2 = 0.998 ,   1 ,   0.998 .

Critério de Parada:

x 1 2 - x 1 1 = 0.002 > ε

Não atingimos o critério, então continuamos as iterações.

Iteração 3 :

x 1 3 = 12 - x 2 2 - x 3 2 10

x 1 3 = 1.0002

x 2 3 = 12 - x 1 2 - x 3 2 10

x 2 3 = 1.0004

x 3 3 = 12 - x 1 2 - x 2 2 10

x 3 3 = 1.0002

Então temos x 3 = 1.0002 ,   1.0004 ,   1.0002 .

Critério de Parada:

x 1 3 - x 1 2 = 0.0022 > ε

Não atingimos o critério, então continuamos as iterações.

Iteração 4 :

x 1 4 = 12 - x 2 3 - x 3 3 10

x 1 4 = 0.99994

x 2 4 = 12 - x 1 3 - x 3 3 10

x 2 4 = 0.99996

x 3 4 = 12 - x 1 3 - x 2 3 10

x 3 4 = 0.99994

Então temos x 4 = 0.99994 ,   0.99996 ,   0.99994 .

Critério de Parada:

x 1 4 - x 1 3 = 0.00026 > ε

Não atingimos o critério, então continuamos as iterações.

Iteração 5 :

x 1 5 = 12 - x 2 4 - x 3 4 10

x 1 5 = 1.00001

x 2 5 = 12 - x 1 4 - x 3 4 10

x 2 5 = 1.00001

x 3 5 = 12 - x 1 4 - x 2 4 10

x 3 5 = 1.00001

Então temos x 5 = 1.00001,1.00001,1.00001 .

Critério de Parada:

x 1 5 - x 1 4 = 7 × 10 - 5 < ε

x 2 5 - x 2 4 = 5 × 10 - 5 < ε

x 3 5 - x 3 4 = 7 × 10 - 5 < ε

Beleza, o critério de parada foi atingido! Então nossa aproximação é:

x = 1.00001,1.00001,1.00001

Passo 3

b Aplicando o critério das linhas temos:

α 1 = 1 4 < 1

α 2 = 2 4 < 1

α 3 = 2 4 < 1

α 4 = 1 4 < 1

Então, o critério das linhas é atendido e a convergência é garantida.

Passo 4

As funções de iteração são:

x 1 k + 1 = 1 + x 2 k 4

x 2 k + 1 = 1 + x 1 k + x 3 k 4

x 3 k + 1 = 1 + x 2 k + x 4 k 4

x 4 k + 1 = 1 + x 3 k 4

Agora precisamos de um chute inicial. Se a gente jogar 0.5 em todas as variáveis dá valores bem próximos né? Então vamos usar x 0 = 0.5,0.5,0.5,0.5 como chute inicial e ε = 0.0001 .

Iteração 1 :

x 1 1 = 1 + x 2 0 4

x 1 1 = 0.375

x 2 1 = 1 + x 1 0 + x 3 0 4

x 2 1 = 0.5

x 3 1 = 1 + x 2 0 + x 4 0 4

x 3 1 = 0.5

x 4 1 = 1 + x 3 0 4

x 4 1 = 0.375

Então temos x 1 = 0.375,0.5,0.5,0.375 .

Critério de Parada:

x 1 1 - x 1 0 = 0.125 > ε

Não atingimos o critério, então continuamos as iterações.

Iteração 2 :

x 1 2 = 1 + x 2 1 4

x 1 2 = 0.375

x 2 2 = 1 + x 1 1 + x 3 1 4

x 2 1 = 0.46875

x 3 2 = 1 + x 2 1 + x 4 1 4

x 3 2 = 0.46875

x 4 2 = 1 + x 3 1 4

x 4 2 = 0.375

Então temos x 2 = 0.375 ,   0.46875 ,   0.46875 ,   0.375 .

Critério de Parada:

x 1 2 - x 1 1 = 0 < ε

x 2 2 - x 2 1 = 0.03125 > ε

Não atingimos o critério, então continuamos as iterações.

Iteração 3 :

x 1 3 = 1 + x 2 2 4

x 1 3 = 0.36719

x 2 3 = 1 + x 1 2 + x 3 2 4

x 2 3 = 0.46094

x 3 3 = 1 + x 2 2 + x 4 2 4

x 3 3 = 0.46094

x 4 3 = 1 + x 3 2 4

x 4 3 = 0.36719

Então temos x 3 = 0.36719,0.46094,0.46094,0.36719 .

Critério de Parada:

x 1 3 - x 1 2 = 0.00781 > ε

Não atingimos o critério, então continuamos as iterações.

Iteração 4 :

x 1 4 = 1 + x 2 3 4

x 1 4 = 0.36523

x 2 4 = 1 + x 1 3 + x 3 3 4

x 2 4 = 0.45703

x 3 4 = 1 + x 2 3 + x 4 3 4

x 3 4 = 0.45703

x 4 4 = 1 + x 3 3 4

x 4 4 = 0.36523

Então temos x 4 = 0.36523,0.45703,0.45703,0.36523 .

Critério de Parada:

x 1 4 - x 1 3 = 0.00781 > ε

Não atingimos o critério, então continuamos as iterações.

Iteração 5 :

x 1 5 = 1 + x 2 4 4

x 1 5 = 0.36426

x 2 5 = 1 + x 1 4 + x 3 4 4

x 2 5 = 0.45557

x 3 5 = 1 + x 2 4 + x 4 4 4

x 3 5 = 0.45557

x 4 5 = 1 + x 3 4 4

x 4 5 = 0.36426

Então temos x 5 = 0.36426,0.45557,0.45557,0.36426 .

Critério de Parada:

x 1 5 - x 1 4 = 0.00098 > ε

Não atingimos o critério, então continuamos as iterações.

Iteração 6 :

x 1 6 = 1 + x 2 5 4

x 1 6 = 0.36389

x 2 6 = 1 + x 1 5 + x 3 5 4

x 2 6 = 0.45496

x 3 6 = 1 + x 2 5 + x 4 5 4

x 3 6 = 0.45496

x 4 6 = 1 + x 3 5 4

x 4 6 = 0.36389

Então temos x 6 = 0.36389,0.45496,0.45496,0.36389 .

Critério de Parada:

x 1 6 - x 1 5 = 0.00037 > ε

Não atingimos o critério, então continuamos as iterações.

Iteração 7 :

x 1 7 = 1 + x 2 6 4

x 1 7 = 0.36374

x 2 7 = 1 + x 1 6 + x 3 6 4

x 2 7 = 0.45471

x 3 7 = 1 + x 2 6 + x 4 6 4

x 3 7 = 0.45471

x 4 7 = 1 + x 3 6 4

x 4 7 = 0.36374

Então temos x 7 = 0.36374,0.45471,0.45471,0.36374 .

Critério de Parada:

x 1 7 - x 1 6 = 0.00015 > ε

Não atingimos o critério, então continuamos as iterações.

Iteração 8 :

x 1 8 = 1 + x 2 7 4

x 1 8 = 0.36368

x 2 8 = 1 + x 1 7 + x 3 7 4

x 2 8 = 0.45461

x 3 8 = 1 + x 2 7 + x 4 7 4

x 3 8 = 0.45461

x 4 8 = 1 + x 3 7 4

x 4 8 = 0.36368

Então temos x 8 = 0.36368,0.45461,0.45461,0.36368 .

Critério de Parada:

x 1 8 - x 1 7 = 6 × 10 - 5 < ε

x 2 8 - x 2 7 = 9.9 × 10 - 5 < ε

x 3 8 - x 3 7 = 9.9 × 10 - 5 < ε

x 3 8 - x 3 7 = 6 × 10 - 5 < ε

Beleza, o critério de parada foi atingido! Então nossa aproximação é:

x = 0.36368,0.45461,0.45461,0.36368

Resposta

a x = 1.00001,1.00001,1.00001

b x = 0.36368,0.45461,0.45461,0.36368

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