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Exercícios Resolvidos de Método de Gauss-Jacobi

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Exercício 12345678

Enunciado

Resolva o sistema linear:

x - 0.5 y + 0.1 z =     0.5       0.2 x + y - 0.3 z = - 1.2 0.3 x - 0.1 y - z =       1.5  

Pelo método de Gauss-Jacobi com x 0 y 0 z 0 = - 0.1 - 0.1 - 0.1 e ε = 1 × 10 - 1

Passo 1

A primeira coisa a se fazer vai ser achar as equações de iteração. Pra isso, basta em cada equação a gente isolar uma variável.

x k + 1 = 0.5 + 0.5 y k - 0.1 z k

y k + 1 = - 1.2 - 0.2 x k + 0.3 z k

z k + 1 = - 1.5 + 0.3 x k - 0.1 y k

Passo 2

Iteração 1:

x 0 y 0 z 0 = - 0.1 - 0.1 - 0.1

x 1 = 0.5 + 0.5 * - 0.1 - 0.1 * - 0.1 = 0.46

y 1 = - 1.2 - 0.2 * - 0.1 + 0.3 * - 0.1 = - 1.21

z 1 = - 1.5 + 0.3 * - 0.1 - 0.1 * - 0.1 = - 1.52

x 1 y 1 z 1 = 0.46 - 1.21 - 1.52

Será que já podemos parar?

Critério de Parada:

| x 1 - x 0 | = | 0.46 + 0.1 | = 0.56 > ε

Deu ruim logo de cara hein!! Então precisamos de mais iterações.

Iteração 2:

x 2 = 0.5 + 0.5 * - 1.21 - 0.1 * - 1.52 = 0.047

y 2 = - 1.2 - 0.2 * 0.46 + 0.3 * - 1.52 = - 1.748

z 2 = - 1.5 + 0.3 * 0.46 - 0.1 * - 1.21 = - 1.241

x 2 y 2 z 2 = 0.047 - 1.748 - 1.241

Será que já podemos parar?

Critério de Parada:

| x 2 - x 1 | = | 0.047 - 0.46 | = 0.413 > ε

Puuutz furou =(

Bora fazer mais iterações!!

Iteração 3:

x 3 = 0.5 + 0.5 * - 1.748 - 0.1 * - 1.241 = - 0.25

y 3 = - 1.2 - 0.2 * 0.047 + 0.3 * - 1.241 = - 1.582

z 3 = - 1.5 + 0.3 * 0.047 - 0.1 * - 1.748 = - 1.311

x 3 y 3 z 3 = - 0.25 - 1.582 - 1.311

Será que já podemos parar?

Critério de Parada:

| x 3 - x 2 | = | - 0.25 - 0.047 | = 0.297 > ε

Iteração 4:

x 4 = 0.5 + 0.5 * - 1.582 - 0.1 * - 1.311 = - 0.16

y 4 = - 1.2 - 0.2 * - 0.25 + 0.3 * - 1.311 = - 1.543

z 4 = - 1.5 + 0.3 * - 0.25 - 0.1 * - 1.582 = - 1.417

x 4 y 4 z 4 = - 0.16 - 1.543 - 1.417

Será que já podemos parar?

Critério de Parada:

| x 4 - x 3 | = | - 0.16 + 0.25 | = 0.09 < ε

| y 4 - y 3 | = | - 1.543 + 1.582 | = 0.039 < ε

| z 4 - z 3 | = | - 1.417 + 1.311 | = 0.106 > ε

MEU DEUS QUE LOUCURAAAA, falhou no últimooo. Acho que mais uma iteração já deve dar...

Iteração 5:

x 5 = 0.5 + 0.5 * - 1.543 - 0.1 * - 1.417 = - 0.13

y 5 = - 1.2 - 0.2 * - 0.16 + 0.3 * - 1.417 = - 1.593

z 5 = - 1.5 + 0.3 * - 0.16 - 0.1 * - 1.543 = - 1.394

x 5 y 5 z 5 = - 0.13 - 1.593 - 1.394

Será que já podemos parar?

Critério de Parada:

| x 5 - x 4 | = | - 0.13 + 0.16 | = 0.03 < ε

| y 5 - y 4 | = | - 1.593 + 1.543 | = 0.05 < ε

| z 5 - z 4 | = | - 1.394 + 1.417 | = 0.02 < ε

ATENDEU TODOOOS, então tá resolvido!!

Resposta

x y z = - 0.13 - 1.593 - 1.394

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