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Exercícios Resolvidos de Método de Gauss-Jacobi

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Exercício 81234567

Enunciado

Dado o sistema:

x - 3 y + z = 5     2 y + 5 z = 9 2.1 x + y + z = 3

Calcule, pelo método de Gauss-Jacobi uma primeira aproximação X 1 , partindo de X 0 = 0 , 0,0 t e usando o sistema de forma tal que a convergência do método esteja garantida.

Passo 1

Para que a convergência do método esteja garantida precisamos atender ao critério das linhas. Para isso podemos fazer as trocas L 1 ↔ L 2 :

    2 y + 5 z = 9 x - 3 y + z = 5 2.1 x + y + z = 3

E em seguida a troca L 1 ↔ L 3 :

2.1 x + y + z = 3 x - 3 y + z = 5     2 y + 5 z = 9

Dessa forma temos:

α 1 = 2 2.1 < 1

α 2 = 2 3 < 1

α 3 = 2 5 < 1

Então o critério das linhas é atendido e a convergência é garantida.

Passo 2

As funções de iteração são:

x k + 1 = 3 - y k - z k 2.1

y k + 1 = - 5 + x k + z k 3

z k + 1 = 9 - 2 y k 5

E temos X 0 = x 0 , y 0 , z 0 = 0 , 0,0

Iteração 1 :

x 1 = 3 - y 0 - z 0 2.1

x 1 = 3 2.1 = 1.429

y 1 = - 5 + x 0 + z 0 3

y 1 = - 5 3 = - 1.667

z 1 = 9 - 2 y 0 5

z 1 = 9 5 = 1.8

Pronto, obtemos nossa aproximação X 1 = 1.429 , - 1.667,1.8 .

Resposta

X 1 = 1.429 , - 1.667,1.8 .

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