Exercícios Resolvidos de Rigidez Relativa

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Enunciado

Determine as rotações dos pontos D e E da estrutura abaixo. Use E J = 2   .   10 4   k N m 2 .

Passo 1

Como já sabemos, nossa estrutura apresenta apenas deslocabilidades internas, que são exatamente as deslocabilidades nos nós que não são nem apoio extremos e nem rotulas, sendo assim teremos que a nossa estrutura travada com chapas será:

Sabemos que agora temos que determinar as nossas deformações: sendo assim sabemos que:

  • β 10 e β 2 0
  • Perceba que todas as barras possuem ou engaste de ambos os lados, ou chapa e engaste em cada uma das extremidades. Isso facilita as nossas contas porque sabemos que só iremos usar as fórmulas referentes aso casos Biengastados da nossa estrutura.

    Como a nossa estrutura possui uma barra com carga distribuída e uma com carga concentrada, usaremos as seguintes duas fórmulas.

    Aplicando na nossa estrutura teremos que:

    β 10 = 13,33

    β 2 0 = - 13,33 - 37,5 = - 50,83

    Passo 2

    Agora precisamos determinar a parcela referente a rotação que pode ser unitária ou podemos usar o conceito de rigidez relativa:

  • β 11 e β 2 1
  • Sabemos aqui que temos que rotacionar a chapa 1, e sabemos que se fizermos isso nos sentido anti-horário, sempre teremos os nossos momentos positivos, sendo assim teremos a seguinte tabela a ser usada para todas as barras, respeitando o caso Bi-engastado:

    E rotacionando a chapa 1 e aplicando as equações teremos que:

    Veja que temos:

    β 11 = 4 E J l A D + 4 E J l B D + 4 E J l E D

    β 21 = 2 E J l E D

    Parece meio complicado calcularmos isso, certo? Então podemos usar o nosso fator para rigidez relativa:

    1 E J

    E assim teremos:

    β 11 = 4 E J l A D + 4 E J l B D + 4 E J l E D 1 E J

    β 21 = 2 E J l E D 1 E J

    Substituindo teremos que:

    β 11 = 4 l A D + 4 l B D + 4 l E D = 4 5 + 4 4 + 4 4 = 2,8

    β 21 = 2 l E D = 2 4 = 0,5

  • β 22 e β 12

Sabemos aqui que temos que rotacionar a chapa 2, e sabemos que se fizermos isso nos sentido anti-horário, sempre teremos os nossos momentos positivos, sendo assim teremos a seguinte tabela a ser usada para todas as barras, respeitando o caso Bi-engastado:

E rotacionando a chapa 2 e aplicando as equações teremos que:

Veja que temos:

β 22 = 4 E J l D E + 4 E J l E C + 4 E J l E F

β 12 = 2 E J l D E

Parece meio complicado calcularmos isso, certo? Então podemos usar o nosso fator para rigidez relativa:

1 E J

E assim teremos:

β 22 = 4 E J l D E + 4 E J l E C + 4 E J l E F 1 E J

β 1 2 = 2 E J l D E 1 E J

Substituindo teremos que:

β 22 = 4 l D E + 4 l E C + 4 l E F = 4 4 + 4 4 + 4 5 = 2,8

β 12 = 2 l D E = 2 4 = 0,5

Passo 2

Agora que já fizemos a parte mais difícil, basta montarmos o nosso sistema de equações que será:

β 10 + 2,8 ∆ 1 + β 1 2 ∆ 2 = 0

β 2 0 + β 2 1 ∆ 1 + β 2 2 ∆ 2 = 0

Substituindo temos que:

13,33 + β 11 ∆ 1 + 0,5 ∆ 2 = 0

- 50,83 + 0,5 ∆ 1 + 2,8 ∆ 2 = 0

Resolvendo esse sistema teremos que:

∆ 1 = - 8,27

∆ 2 = 19,63

Lembre-se que como dividimos tudo por EJ, devemos fazer isso aqui no final para termos as deformações finais, sendo assim teremos que:

∆ D = ∆ 1   . 1 E J = - 8,27   . 1 2   .     10 4 = - 4,14   .   10 - 4 r a d

∆ E = ∆ 2   . 1 E J = 19,63   . 1 2   .     10 4 = 9,82   .   10 - 4   r a d

Resposta

∆ D = - 4,14   .   10 - 4 r a d

∆ E = 9,82   .   10 - 4   r a d