Seja H um subespaço vetorial do R n . (Projeções e reflexões desta questão são ortogonais.) Diga se as afirmativas abaixo são verdadeiras ou falsas.

  1. A transformação obtida primeiro projetando em H e depois refletindo em torno de H ⊥ é diferente da transformação obtida primeiro refletindo em torno de H ⊥ e depois projetando em H .
  2. A reflexão de v ∈ R n em torno de H ⊥ é dada pela fórmula R H ⊥ v = v - 2 P H v , onde P H denota a projeção em H .

( a ) I é falsa e I I é verdadeira

( b ) Ambas são falsas

( c ) Ambas são verdadeiras

( d ) I é verdadeira e I I é falsa

Passo 1

Afirmativa I :

Essa afirmativa que é aparentemente muito difícil, mas se lembrarmos daquela imagem fica fácil:

Lembra dela? Eu modifiquei um pouquinho pra se adequar ao problema, mas no fundo é a mesma imagem! Como podemos ver, qualquer caminho que escolhamos vamos chegar no mesmo resultado! Uma coisa interessante de trabalharmos com complementos ortogonais é que, como talvez vocês já tenham percebido, podemos usar o R 2 para representar qualquer espaço R n na hora de verificarmos alguma afirmação ;)

Logo, essa afirmativa é falsa, já que ta dizendo que é diferente.

Passo 2

Afirmativa I I :

Novamente, eu peguei aquele desenho que mostrei pra vocês e dei uma mexida nele:

Podemos ver que a reflexão de b por H ⊥ é dada por:

R H ⊥ b = I - P H b - P H b = b - P H b - P H b = b - 2 P H b

Se substituirmos b por v :

R H ⊥ v = v - 2 P H b

Logo, essa está correta!

Resposta

Letra ( a )

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