Calcule a circularidade e a esfericidade de um paralelepípedo retângulo de dimensões proporcionais a .
Passo 1
Bora fazer um rascunho da geometria. Eu vou considerar essas dimensões proporcionais a como sendo comprimento, altura e largura, mas a ordem não faz diferença na hora de resolver, ok?
O enunciado pede pra gente calcular a circularidade e a esfericidade dessa partícula. Vamos por partes:
Bora, primeiro, lembrar a fórmula de circularidade:
Esse * é para lembrar que isso é medido na condição de maior estabilidade da partícula, que, na prática, vai ser o maior perímetro da partícula. Daí, vamos ter que pegar o perímetro formado por comprimento e altura ( e ).
Para o numerador, vamos ter que:
- Calcular a área delimitada por esse retângulo vermelho
- Igualar essa área à fórmula da área do círculo () para achar o diâmetro desse círculo
- Usar esse diâmetro para calcular o perímetro desse círculo, que é o comprimento da circunferência ()
Depois é só calcular o perímetro desse retângulo vermelho e temos o denominador da circularidade também. Aí é só fazer a divisão entre numerador e denominador.
Já para a esfericidade:
Para o numerador, a gente calcula o e usa ele pra calcular a área superficial dessa esfera equivalente ().
Passo 2
Começando pela circularidade, bora calcular a área projetada na configuração de maior estabilidade da partícula, que é a área daquele retângulo vermelho:
Igualando essa área com a área do círculo:
Usando esse diâmetro para calcular o perímetro desse círculo:
A parte mais difícil já foi. Agora bora calcular o perímetro, , da partícula, que é o perímetro daquele retângulo vermelho:
Já temos numerador e denominador, bora calcular essa circularidade:
Passo 3
Bora, agora, calcular a esfericidade:
Já vimos lá no passo 1 que vamos precisar calcular o e, para isso, vamos precisar do volume da partícula, né?
Igualando à fórmula do volume da esfera, para achar o
Aplicando raiz cúbica dos dois lados:
Agora vamos usar esse para calcular a área superficial dessa esfera equivalente:
Agora precisamos da área superficial da nossa partícula. Repara que vai ser:
Agora é só substituir os valores que achamos na fórmula de esfericidade e ser feliz: