Calcule a esfericidade de uma casca cilíndrica cujas especificações são:
Passo 1
Bora dar uma olhada na geometria: casca cilíndrica é como se você tivesse um cilindro maciço e tirasse um cilindro de dentro dele. Aí ele fica com um buraco cilíndrico no meio dele.
Esse buraco vai de uma ponta até a outra. Aí a vista superior fica assim, olha:
O enunciado pediu a esfericidade ():
Para o numerador, a gente calcula o e usa ele pra calcular a área superficial dessa esfera equivalente ().
Para o denominador, precisamos da área superficial dessa casca cilíndrica, que é a soma da área lateral externa (), área lateral interna (), anel da base () e anel do topo ().
Passo 2
Precisamos do volume dessa casca cilíndrica:
Sendo que a área da base () é a área de um anel de raio externo e raio interno . Daí:
Substituindo os valores:
Calculando o volume da partícula ():
Igualando à fórmula do volume da esfera, para achar o
Aplicando raiz cúbica dos dois lados:
Agora vamos usar esse para calcular a área superficial dessa esfera equivalente (), que vai ser:
Passo 3
Para o denominador, precisamos da área superficial da partícula, então bora calcular!
Sendo que :
Daí:
Já calculamos . Falta e :
A área lateral externa é a área lateral de um cilindro: perímetro da base multiplicada pela altura. Como o perímetro da base é uma circunferência:
Já que e :
A área lateral interna é calculada de forma semelhante, já que a lateral interna também tem forma cilíndrica:
A altura é a mesma, , mas :
Daí:
Passo 4
Agora temos tudo pra calcular a esfericidade: