Calcule a esfericidade de um cubo.
Passo 1
Para não perder o hábito, bora fazer um esboço da geometria. Vou chamar a aresta do cubo de .
A definição de esfericidade é:
Daí, para o numerador, vamos ter que calcular o diâmetro da esfera de mesmo volume que o cubo (). E pra isso precisamos do volume do cubo, mas isso é moleza:
Depois vamos calcular a área superficial dessa esfera e aí temos o numerador, ok?
Para o denominador, vamos precisar da área superficial do cubo:
Passo 2
Primeiro, bora calcular o . Aplicando a definição:
Rearranjando:
Aplicando raiz cúbica dos dois lados:
Passo 3
A fórmula para área superficial de uma esfera qualquer é:
Então, a área superficial de uma esfera equivalente ( ) de diâmetro vale:
Passo 4
Já temos, lá do passo 1, a área superficial do cubo (). Daí, agora é só jogar tudo na definição de esfericidade:
Cortando o em cima e embaixo e jogando o resto na calculadora:
Lembrando que eu não me preocupei com unidades aqui porque esfericidade é um adimensional.
Passo 5
Lembra que a gente pode fazer esfericidade como o quadrado da razão entre e ?
Vamos testar isso aqui?
O já calculamos:
E o do cubo fica assim:
Igualando as duas superfícies:
E a esfericidade:
Corta esses e joga o resto na calculadora: