Eventos Independentes & Mutuamente Exclusivos

Produzido por Jorge Alberto Nascimento
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Teoria

Eventos Independentes

Fala Aíí!! Pensa comigo na seguinte situação: Imagine que uma moeda é lançada duas vezes. Aí eu vou e te pergunto qual a probabilidade de cair coroa no segundo lançamento? Você piraria??? Calmaaaa!!!!

Vamos tentar entender melhor a situação:

Vamos supor que você lance essa moeda uma vez, e tenha como resultado coroa. Se você lançar essa moeda novamente, após esse primeiro lançamento, essa coroa que você tirou no primeiro lançamento vai ter alguma influência sobre o próximo resultado? Não! É aqui que vai entrar os eventos independentes!!

Como o nome já diz, eventos independentes são aqueles que não dependem um do outro, ou seja, o fato de um deles acontecer não altera a probabilidade do outro ocorrer. Mas como calcular?

Voltando ao exemplo:

Vamos chamar nosso evento de evento A:

A :   o b t e r   c o r o a   n o   s e g u n d o   l a n ç a m e n t o

Temos as seguintes possibilidades:

Ou seja, nosso espaço amostral é 4.

Queremos as possibilidades do segundo laçamento ser coroa, certo? Então, temos as seguintes opções:

Ou seja, temos dois casos possíveis.

Vamos calcular P(A):

P ( A ) = 2 4 = 0,5

Essa foi fácil, né?

Humm.. mas como vamos saber se dois eventos são independentes ou não?

É exatamente isso que vamos descobrir agora. Vem comigo!

Se dois eventos são independentes, então:

P A ∩ B = P A ⋅ P ( B )

Ou seja, a probabilidade do evento A e do evento B ocorrer é exatamente a probabilidade de A multiplicada pela probabilidade de B.

Por exemplo, vamos acrescentar um evento B no nosso primeiro exemplo:

A :   o b t e r   c o r o a   n o   s e g u n d o   l a n ç a m e n t o

B :   o b t e r   c a r a   n o   p r i m e i r o   l a n ç a m e n t o

Qual a probabilidade dos dois eventos ocorrerem?

Sabemos que o fato de um evento ocorrer não tem ligação com o outro, certo? Então, são eventos independentes e queremos calcular P A ∩ B .

Vamos começar calculando P A :

P A = 1 2

Calculando P B :

P B = 1 2

Então:

P A ∩ B = P A ⋅ P ( B )

P A ∩ B = 1 2 ∙ 1 2 = 1 4

Prontinho! Vamos verificar na tabela se isso é verdade?

Show de bola?!

Eventos Mutuamente Exclusivos

Dizemos que dois eventos são mutuamente exclusivos quando eles são disjuntos, ou seja, quando não possuem interseção.

E tudo volta à Teoria dos Conjuntos...

Exemplo

Em um único lançamento de dado, qual a probabilidade de obter um número que seja par e ímpar ao mesmo tempo?

Deu ruim, né? Calma que já vai fazer sentido.

Vamos chamar os dois eventos do exemplo de A e B:

A :   O   n ú m e r o   s e r   p a r

B :   O   n ú m e r o   s e r   í m p a r

Queremos calcular a probabilidade dos dois eventos ocorrerem, ou seja, P A ∩ B

Mas ao lançar um dado é IMPOSSÍVEL obter um número par e ímpar ao mesmo tempo, certo?

Isso porque não existe interseção entre esses dois eventos, ou seja:

A ∩ B = ∅

Quando isso acontece, dizemos que os eventos são mutuamente exclusivos!

Tá, mas o que isso quer dizer na prática?

Com isso podemos concluir outras coisas. Por exemplo, se queremos calcular a união de probabilidades temos a seguinte fórmula:

P A ∪ B = P A + P B - P A ∩ B

Se os eventos A e B são mutuamente exclusivos, logo P A ∩ B = 0 , portanto:

P A ∪ B = P A + P B

Ou seja, a probabilidade da união de eventos mutuamente exclusivos é a soma das probabilidades de cada evento!

Além disso, quando dois eventos não tiverem interseção a probabilidade condicional também irá mudar. Vamos dar uma olhada na fórmula:

P B / A = P A ∩ B P A

Como P A ∩ B = 0   teremos:

P B / A = 0 P A = 0

Ou seja, quando falamos de eventos mutuamente exclusivos podemos afirmar que a probabilidade de B ocorrer tal que A ocorreu é ZERO.

Isso faz sentido no nosso exemplo, certo? Se quiséssemos calcular P B / A , estamos calculando a probabilidade do número do dado ser ímpar dado que o número do dado é par, e isso é impossível de acontecer, logo:

P B / A = 0

Importante!

Não podemos confundir eventos MUTUAMENTE EXCLUSIVOS com eventos INDEPENDENTES.

Eventos independentes são aqueles que:

P A ∩ B = P A . P ( B )

Nada podemos afirmar sobre eles serem mutuamente exclusivos ou não. E vice versa!

Partiu exercício para fixar melhor esses paranauês todos aí!

Eventos Mutuamente Exclusivos

Exemplo

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