Eventos Independentes & Mutuamente Exclusivos
Produzido por Jorge Alberto NascimentoTeoria
Eventos Independentes
Fala Aíí!! Pensa comigo na seguinte situação: Imagine que uma moeda é lançada duas vezes. Aí eu vou e te pergunto qual a probabilidade de cair coroa no segundo lançamento? Você piraria??? Calmaaaa!!!!
Vamos tentar entender melhor a situação:
Vamos supor que você lance essa moeda uma vez, e tenha como resultado coroa. Se você lançar essa moeda novamente, após esse primeiro lançamento, essa coroa que você tirou no primeiro lançamento vai ter alguma influência sobre o próximo resultado? Não! É aqui que vai entrar os eventos independentes!!
Como o nome já diz, eventos independentes são aqueles que não dependem um do outro, ou seja, o fato de um deles acontecer não altera a probabilidade do outro ocorrer. Mas como calcular?
Voltando ao exemplo:
Vamos chamar nosso evento de evento A:
Temos as seguintes possibilidades:
Ou seja, nosso espaço amostral é 4.
Queremos as possibilidades do segundo laçamento ser coroa, certo? Então, temos as seguintes opções:
Ou seja, temos dois casos possíveis.
Vamos calcular P(A):
Essa foi fácil, né?
Humm.. mas como vamos saber se dois eventos são independentes ou não?
É exatamente isso que vamos descobrir agora. Vem comigo!
Se dois eventos são independentes, então:
Ou seja, a probabilidade do evento A e do evento B ocorrer é exatamente a probabilidade de A multiplicada pela probabilidade de B.
Por exemplo, vamos acrescentar um evento B no nosso primeiro exemplo:
Qual a probabilidade dos dois eventos ocorrerem?
Sabemos que o fato de um evento ocorrer não tem ligação com o outro, certo? Então, são eventos independentes e queremos calcular .
Vamos começar calculando :
Calculando :
Então:
Prontinho! Vamos verificar na tabela se isso é verdade?
Show de bola?!
Eventos Mutuamente Exclusivos
Dizemos que dois eventos são mutuamente exclusivos quando eles são disjuntos, ou seja, quando não possuem interseção.
E tudo volta à Teoria dos Conjuntos...
Exemplo
Em um único lançamento de dado, qual a probabilidade de obter um número que seja par e ímpar ao mesmo tempo?
Deu ruim, né? Calma que já vai fazer sentido.
Vamos chamar os dois eventos do exemplo de A e B:
Queremos calcular a probabilidade dos dois eventos ocorrerem, ou seja, P
Mas ao lançar um dado é IMPOSSÍVEL obter um número par e ímpar ao mesmo tempo, certo?
Isso porque não existe interseção entre esses dois eventos, ou seja:
Quando isso acontece, dizemos que os eventos são mutuamente exclusivos!
Tá, mas o que isso quer dizer na prática?
Com isso podemos concluir outras coisas. Por exemplo, se queremos calcular a união de probabilidades temos a seguinte fórmula:
Se os eventos e são mutuamente exclusivos, logo , portanto:
Ou seja, a probabilidade da união de eventos mutuamente exclusivos é a soma das probabilidades de cada evento!
Além disso, quando dois eventos não tiverem interseção a probabilidade condicional também irá mudar. Vamos dar uma olhada na fórmula:
Como teremos:
Ou seja, quando falamos de eventos mutuamente exclusivos podemos afirmar que a probabilidade de B ocorrer tal que A ocorreu é ZERO.
Isso faz sentido no nosso exemplo, certo? Se quiséssemos calcular , estamos calculando a probabilidade do número do dado ser ímpar dado que o número do dado é par, e isso é impossível de acontecer, logo:
Importante!
Não podemos confundir eventos MUTUAMENTE EXCLUSIVOS com eventos INDEPENDENTES.
Eventos independentes são aqueles que:
Nada podemos afirmar sobre eles serem mutuamente exclusivos ou não. E vice versa!
Partiu exercício para fixar melhor esses paranauês todos aí!