Seis tecidos são extraídos de uma hera infestada por aranhas. A planta está infestada em de sua área. Algumas amostras são escolhidas de áreas selecionadas aleatoriamente das heras. Considere que as amostras sejam independentes.

1. Qual é a probabilidade de quatro amostras sucessivas mostrarem sinais de infestação?
2. Qual é a probabilidade de três de quatro amostras sucessivas mostrarem sinais de infestação?

Na letra a:

Vamos denotar o seguinte evento:

Quantos deles existem? Uma vez que precisamos de 4 amostras para serem sucessivas,

podemos olhar para os quatro como um, digamos . Portanto, quando houver quatro amostras sucessivas que mostram os sinais de infestação, os eventos são:

Há um total de três eventos com quatro amostras sucessivas que mostram os sinais de infestação. Poderíamos ter calculado isso usando combinações,

Nosso evento é a união desses três eventos disjuntos. A probabilidade da união de eventos separados é a soma das probabilidades desses eventos, portanto, precisamos

calcular a probabilidade de cada um desses três eventos. As probabilidades serão o mesmo. Por exemplo,

Bom, assumindo que os eventos são independentes, usando a proposição dada abaixo, o evento na interseção é independente. Por serem independentes, podemos usar a propriedade da multiplicação fornecida abaixo.

Proposição: Se e são independentes, então:

e são independentes:

e são independentes;

e são independentes;

o que também vale para eventos (cada combinação de eventos e seus complementos são eventos independentes).

A propriedade da multiplicação: Para eventos , nós dizemos que eles são mutuamente independentes se:

para todo , e todo subconjunto de índices .

Da mesma maneira que calculamos essa probabilidade, podemos calcular para os outros dois eventos. Ainda haverá quatro eventos e dois dos eventos na interseção, que têm a mesma probabilidade para cada . Portanto,

Na letra b:

Da mesma forma que fizemos em a, precisamos contar quantos eventos para os quais três das quatro amostras sucessivas mostram os sinais de infestação. O evento - três das quatro amostras sucessivas mostram que os sinais de infestação serão uniões disjuntas de eventos como:

Observe que, no terceiro evento, existem três em cada quatro amostras sucessivas que mostram os sinais de infestação (1-2-4). Agora temos que determinar quantos desses eventos estão lá.

Suponha que podemos selecionar o primeiro elemento de um par ordenado de maneiras, e que para cada elemento selecionado podemos selecionar o segundo elemento de maneiras, então temos o número de pares são .

Determinamos da mesma maneira que fizemos em (a) quando olhamos para amostras como uma, portanto, é o número de maneiras pelas quais podemos selecionar quatro amostras sucessivas.

Agora, para determinar , precisamos do número de maneiras para escolher três das quatro amostras sucessivas para mostrar os sinais de infestação. Para determinar isso, usamos combinações.

Para amostras, queremos que para mostrar os sinais de infestação e podemos fazer isso nessa quantidade de maneiras:

Então, temos:

eventos disjuntos diferentes na união que representa nosso evento . Mas é isso mesmo?

Para tornar isso um pouco mais compreensível, na primeira etapa, podemos ter um dos seguintes:

Vamos supor que pegamos para este, a fim de ter três das quatro amostras sucessivas que mostram os sinais de infestação, precisamos escolher um desses:

Para cada um dos três, temos quatro, o que totaliza 12 diferentes.

Mas, o primeiro e o quarto eventos mencionados já foram contados em e , então na verdade contamos duas vezes! Portanto, existem 10 eventos diferentes (12-2 duplos)!

Por exemplo, vamos calcular a probabilidade de

E finalmente, a probabilidade do nosso evento é: