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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Meyer - Aplicações a Estatística- Ed: 2º - Capítulo 3.Problemas - Ex. 18

Verifique que o número de condições impostas pela Eq. (3.8) é dado por 2 n - n - 1 .

Passo 1

A equação 3.8 define a condição para que os n eventos A 1 , A 2 , ..., A n serão mutuamente independentes se, e somente se, tivermos para k = 2 ,   3 ,   … ,   n :

P A i 1 ∩ A i 2 ∩ … ∩ A i k = P A i 1 P A i 2 … P A i k

Queremos mostrar que existem 2 n - n - 1 condições desse tipo.

Vamos analisar primeiro o caso com n = 3 : A 1 , A 2 e A 3 , e k = 2 ,   3 . Para que esses três eventos sejam independentes, eles podem ser independentes por pares ( k = 2 ) ou por trios ( k = 3 ). No caso dos pares, isso pode ocorrer de C 3,2 formas:

C 3,2 = 3 ! 2 ! 1 ! = 3

Já nos trios, temos C 3,3 formas:

C 3,3 = 1

Portanto, o total de forma é

t o t a l = C 3,2 + C 3,3

Agora note que

t o t a l = C 3,0 + C 3,1 + C 3,2 + C 3,3 - C 3,0 + C 3,1

Como C 3,0 = 1 e C 3,1 = 3 , temos que

t o t a l = C 3,0 + C 3,1 + C 3,2 + C 3,3 - 3 - 1

Além disso, usando a propriedade binomial do triângulo de Pascal:

C 3,0 + C 3,1 + C 3,2 + C 3,3 = 2 3

De fato,

C n , 0 + C n , 1 + … + C n , n = 2 n

Passo 2

Considerando n = 4 eventos, eles podem ser independentes em pares ( C 4,2 ), em trios ( C 4,3 ) e em quartetos ( C 4,4 ). Com isso:

t o t a l = C 4,2 + C 4,3 + C 4,4 = C 4,0 + C 4,1 + C 4,2 + C 4,3 + C 4,4 - 4 - 1

Logo,

t o t a l = 2 4 - 4 - 1

Passo 3

No caso geral com um n qualquer, podemos combinar os eventos em pares, trios, quartetos, e assim por diante, até em grupos com k = n :

t o t a l = C n , 2 + C n , 3 + … + C n , n

Logo,

t o t a l = C n , 0 + C n , 1 + C n , 2 + C n , 3 + … + C n , n - n - 1

Portanto,

t o t a l = 2 n - n - 1

Resposta

t o t a l = 2 n - n - 1

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