Teoria

Introdução

Cara, lá na parte de estatística da matéria, nós vimos que muitas vezes estaremos trabalhando com amostras, porque é muito difícil coletar informações da população, certo?

Só que, ao trabalhar com as amostras, nós só temos os parâmetros de média, variância, desvio-padrão amostrais, e não os parâmetros da população.

O que a gente vai fazer agora é estimar parâmetros da população, a partir dos dados das amostras! Como assim?! Vamos ver um exemplo!!!

Exemplo

Digamos que um engenheiro metalúrgico está interessado em analisar a porcentagem de carbono em uma liga de ferro produzida por sua empresa. Dez unidades amostrais de ferro apresentam as seguintes quantidades de carbono (em gramas) para cada cem gramas da liga:

4,37     3,63     2,78     5,46     2,18     6,07     3,24     5,89     4,86     4,64

Nesse caso, X seria uma variável aleatória que indica a porcentagem de carbono nas ligas de ferro produzidas pela empresa (que é nossa população)...

Poderíamos representar nossa amostra aleatória por ( X 1 , X 2 , … , X 10 ) , já que são 10 observações. Logo nosso número de amostra n é 10.

n = 10

Beleza até aqui?

Vamos agora ao problema: o engenheiro quer saber a quantidade média de carbono na liga de ferro que a empresa produz, ou seja, ele quer saber a média da população ( μ ), mas para descobrir isso precisaríamos descobrir os dados de toda a população!

Nós não sabemos o valor de μ , certo? Mas, calma! Podemos estimá-lo a partir da amostra...

Adivinha como?

O valor da média amostral, x - , é uma estimativa do parâmetro μ .

Quando maior o nosso número de amostra ( n ) melhor será a nossa estimativa!

Voltando ao nosso exemplo, vamos calcular a média amostral:

x - = 4,37 + 3,63 + 2,78 + 5,46 + 2,18 + 6,07 + 3,24 + 5,89 + 4,86 + 4,64 10

x - = 4,31

E como foi dito, podemos usar essa estimativa para representar o valor da média populacional μ , então:

μ ≈ x - = 4,31

OBS: Uma confusão não tão difícil de acontecer é confundir o conceito de estimador com o conceito de estimativa. Pensa assim: estimador é o parâmetro amostral, e o valor desse parâmetro é a estimativa. Então no exemplo que vimos:

x -   é   o   e s t i m a d o r

4,31   é   a   e s t i m a t i v a

Beleza?!

Estimadores Naturais

Isso aí que escrevemos ai em cima é verdade porque a média amostral x - é um estimador natural de μ   que é a média populacional. Show de bola?!

Dá mesma forma, vamos ter outros parâmetros amostrais que serão estimadores naturais dos seus respectivos parâmetros populacionais, vamos conhecê-los:

Variância Amostral/Variância Populacional

A variância amostral ( s 2 ) é um estimador natural para a variância populacional ( σ 2 ) :

s 2 ≈ σ 2

Desvio Padrão Amostral/Desvio Padrão Populacional

O desvio padrão amostral ( s ) é um estimador natural para o desvio padrão populacional ( σ )

s   ≈   σ

Proporção Amostral/Proporção Populacional

Vamos ver (ou relembrar) o que são esses caras agora rapidinho?!

Supondo uma população de pessoas onde 5 % delas são ruivas. Nossa proporção populacional ( p ) de pessoas ruivas seria então:

p = 0,05

E se dessa população fosse retirada uma amostra de 100 pessoas, e 3 delas fossem ruivas, nossa proporção amostral ( p ^ ) de pessoas ruivas seria:

p ^ = 3 100 = 0,03

A proporção amostral ( p ^ ) é um estimador natural para a proporção populacional ( p )

p ^   ≈   p

Amostra Obtida de uma População Normal

Beleza, vimos como estimar valores de parâmetros populacionais usando a amostra. E se eu quisesse o contrário? Se eu conhecesse minha população, mas não tenho os dados amostrais e quero estimá-los? Vamos ver isso agora!

Digamos por exemplo que eu conheço a média populacional μ e quero encontrar a média amostral x - , como no exemplo:

Uma população de abóboras tem peso médio igual a 15,5 k g e desvio padrão de 2,5 k g . É retirada uma amostra de 30 abóboras desta população. Estime a distribuição da média amostral, assim como sua esperança, variância e desvio padrão.

Foi dito que:

μ = 15,5 k g

σ = 2,5 k g

Vamos supor uma amostra aleatória de n elementos, ou seja, ( X 1 , X 2 , … , X n ) é uma amostra aleatória obtida de uma população Normal. Quando temos esse tipo de situação sabemos que X é uma v.a. X ~ N ( μ , σ 2 ) .

Com isso, todas as X i ’s tem a mesma distribuição N ( μ , σ 2 ) .

Se quiséssemos calcular a média amostral dessa amostra teríamos que:

x - = ∑ i = 1 n X i n

Tá mas o que vamos fazer com isso?

Repara que aqui estamos trabalhando com a média amostral, e pelo teorema central do limite, se o número de amostras for pelo menos 30 , podemos dizer que a média amostral segue uma distribuição normal onde:

X - ~ N μ , σ 2 n

Ou seja, pelo próprio TCL, podemos indicar que a média amostral segue uma normal.

E também podemos encontrar sua esperança e desvio padrão.

E x - = μ = 15,5 k g

σ x - = σ 2 n = 2,5 ² 30 = 0,3125 k g 2

E podemos encontrar também sua variância, dividindo o desvio padrão, pela raiz de n :

V a r x - = σ n = 2,5 30 = 0,56 k g

Recapitulando:

Usando propriedades de esperança e variância:

x -   ~   N μ , σ 2 n   ,     E x - = μ           e         V a r x - = σ 2 n

Olhando para o exemplo anterior temos que nossa média amostral vai seguir a distribuição...

x - ~ N ( 15,5 ; 0,56 2 )

Com essas informações, podemos estimar o valor do estimador x - por meio dessa distribuição de probabilidade:

Não precisa encrencar com esse μ ∓ 3 σ não. Isso aí é só pra ilustrar melhor todo o intervalo de valores que nosso estimador pode ter.

Como numa distribuição Normal aproximadamente 99 % dos valores estão no intervalo ( μ - 3 σ ; μ + 3 σ ) , estamos garantindo que nossa média amostral tem 99 % de chances de estar entre 13,89 e 17,18 .

Estimação da Proporção Amostral

E se a gente quisesse fazer a mesma coisa para o estimador p ^ ? Vamos tentar outro exemplo:

“Numa população de 1500 crianças, 20 % quer ser bombeiro(a) ou astronauta quando crescer. Retira-se uma amostra de 200 crianças dessa população. Qual a probabilidade da proporção amostral de crianças que quer ser bombeiro(a) ou astronauta ser maior que 0,15 ?”

A gente pode definir também a esperança e a variância da proporção amostral:

E p ^ = p     ,       V a r p ^ = p 1 - p n

Ou seja:

p ^ ~ N p   ;   p 1 - p n

Isso acontece por causa do Teorema Central do Limite, mas não se preocupa muito com isso: foca nas contas!

Como vimos, p ^ vai seguir uma distribuição Normal. Os parâmetros serão:

E p ^ = p = 0,20

V a r p ^ = p 1 - p n = 0,20 ( 1 - 0,20 ) 200 = 0,0008

Ou seja:

p ^ ~ N ( 0,20 ; 0,0008 )

Queremos saber a probabilidade de p ^ ser maior que 0,15 :

P ( p ^ > 0,15 )

Como p ^ segue uma Normal, padronizamos isso daí:

P Z > 0,15 - 0,20 0,0008 = P Z > - 1,77 = P ( Z < 1,77 )

Procurando essa probabilidade na tabela da Normal, temos que:

P p ^ > 0,15 = 0,9616

Vamos treinar isso tudo nos exercícios agora!

Estimadores Naturais

Amostra Obtida de uma População Normal

Estimação da Proporção Amostral

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