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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Montgomery - Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros- Ed: 4º - Capítulo 8.Exercícios - Ex. 50

De 1000 casos selecionados aleatoriamente de câncer de pulmão, 823 resultaram em morte dentro de 10 anos.

(a) Calcule um intervalo bilateral de confianca de 95% para a taxa de morte de cancer de pulmao.

(b) Usando a estimativa pontual de p, obtida a partir de uma amostra preliminar, qual o tamanho necessario da amostra para estar 95% confiante de que o erro em estimar o valor verdadeiro de p seja menor do que 0.03?

(c) Quão grande tem de ser a amostra se desejarmos extar no mínimo 95% confiantes de que o erro em estimar p seja menor do que 0.03 independente do valor verdadeiro de p?

Passo 1

Vamos lá pessoal, se liga aqui como que resolve essa questão:

Se p ^ é a proporção de observações em uma amostra aleatória de tamanho n que pertence a uma classe de interesse, um intervalo de confiança aproximada de 100 ( 1 - α ) % na proporção p da população que pertence a esta classe é

p ^ - z α 2 p ^ ( 1 - p ^ ) n ≤ p ≤ p ^ + z α 2 p ^ ( 1 - p ^ ) n

onde z α 2 é o ponto percentual superior α     2 da distribuição normal padrão.

Este procedimento depende da adequação da aproximação normal ao binomial. Para ser razoavelmente conservador, isso requer que np e n ( 1 - p ) sejam maiores ou iguais a 5. Em situações em que esta aproximação é inadequada, principalmente nos casos em que n é pequeno, outros métodos devem ser usados.

De n = 1000 casos de câncer de pulmão selecionados aleatoriamente x = 823 resultou em

morte dentro de 10 anos. Então, a estimativa pontual da proporção da população p é

p ^ = x n = 823 1000 = 0.823

e

n p = 1000 × 0.823 = 823 > 5 n ( 1 - p ) = 1000 × ( 1 - 0.823 ) = 177 > 5

Passo 2

Letra a:

Para um intervalo de confiança bilateral de 95%:

α 2 = 1 - 0.95 2 = 0.025

E

z α 2 = 1.96

Portanto, a partir das equações anteriores, um IC bilateral de 95% sobre a taxa de mortalidade de câncer de pulmão é

0.823 - 1.96 0.823 ( 1 - 0.823 ) 1000 ≤ p ≤ 0.823 + 1.96 0.823 ( 1 - 0.823 ) 1000

que simplifica para

0.799 ≤ p ≤ 0.847

O tamanho da amostra para um erro especificado em uma proporção binomial é:

n = z α 2 E 2 p ( 1 - p )

Passo 3

Letra b:

Sabemos que o erro em estimar o valor verdadeiro de p é E = 0.03 e z α 2 = 1.96 então, a partir da primeira equação obtemos

n = 1.96 0.03 2 0.823 ( 1 - 0.823 ) = 621.789

Portanto, o tamanho da amostra é

n = 622

Então, estar 100 ( 1 - α ) % confiante de que o erro na estimativa de p por p ^ é menor do que E, se o tamanho da amostra for

n = z α 2 E 2 0.25

Passo 4

Letra c:

Sabemos que o erro em estimar o valor real de p é E = 0.03 e z α 2 = 1.96 , então das equações, temos:

n = 1.96 0.03 2 0.25

Portanto, o tamanho da amostra é

n = 1068

Resposta

  1. 0.799 ≤ p ≤ 0.847
  2. n = 622
  3. n = 1068
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