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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Walpole - Probabilidade e Estatística para Engenharia e Ciências- Ed: 8º - Capítulo 9.Exercícios - Ex. 37

Um estudo foi conduzido para determinar se certo tratamento em metal tem algum efeito sobre a quantidade de metal removida durante uma operação de decapagem com ácido. Uma amostra aleatória de 100 peças foi submersa em um banho por 24 horas sem o tratamento, rendendo uma média de 12,2 milímetros de metal removido e um desvio-padrão de 1,1 milímetro. Uma segunda amostra de 200 peças, expostas ao tratamento, foi imersa por 24 horas, resultando em uma média de remoção de 9,1 milímetros e desvio-padrão de 0,9 milímetro. Calcule um intervalo de confiança de 98% estimado para a diferença entre as médias das populações. O tratamento parece reduzir a quantidade média de metal removido?

Passo 1

Falaa, meu querido/minha querida. Para um intervalo de confiança para μ 1 - μ 2 , com σ 1 2 ≠ σ 2 2 e ambos desconhecidos, nós temos o intervalo:

( x - 1 - x - 2 ) - t α / 2 σ 1 2 n 1 + σ 2 2 n 2 < μ 1 - μ 2 < ( x - 1 - x - 2 ) + t α / 2 σ 1 2 n 1 + σ 2 2 n 2

Onde, t α / 2 é o valor t com os graus de liberdade definido por:

v = s 1 2 / n 1 + s 2 2 / n 2 2 s 1 2 / n 1 2 / ( n 1 - 1 ) + s 2 2 / n 2 2 / ( n 2 - 1 )

Então, bora para os cálculos!!!

Passo 2

Pelo o que o enunciado nos deu 9 8 % = 100 1 - α %

1 - α = 0,9 8

α = 0,0 2

Então, agora precisamos calcular o grau de liberdade:

v = 1,1 2 / 100 + 0,9 2 / 200 2 1,1 2 / 100 2 / ( 100 - 1 ) + 0,9 2 / 200 2 / ( 200 - 1 ) ≈ 167

Sendo assim, o valor de t 0,01 para valor t com 167 graus de liberdade é dado por t 0,01 = 2,326 .

Portanto, o intervalo de confiança solicitado é:

μ 1 - μ 2 = 12,2 - 9,1 ± 2,326 1,1 2 100 + 0,9 2 200 = 3,1 ± 0,295

Por fim, a estimativa do intervalo de confiança de 98% para a diferença entre as médias da população é:

2,805 < μ 1 - μ 2 < 3,395

Resposta

2,805 < μ 1 - μ 2 < 3,395

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