10-26.Um artigo na revista Technometrics(1999.Vol.41.pp.202-211)

esnudou a capacidade de um medidor em medir os pesos de duas folhas

de papel. Os dados sǎo mostrados a seguir.

a) Verifique a suposicao de que os dados de cada folha säo provenien-

tes de distribuicoes normais.

b) Teste a hipótese de que os pesos medios das duas folhas cio iguais

contra a altemativa de que saodiferentes(e suponha vanáncias iguais).

Use a =0,05 e considere vanáncias iguais. Encontre o valor P.

c) Repita o teste prévio com a-0.10.

d)Compare suas respostas para os itens (b) c (c) c expliquc por quc

eles são iguais ou diferentes.

e) Explique como as questoes dos itens (b)e (c) poderiam ser respon-

didas com intervalos de confianca.

Passo 1

Oi oi gente,

Vamos lá fazer mais uma questão passo a passo?

Vem comigo!

Dados:

n 1 = 15 n 2 = 15 a = 0.05

A média é a soma de todos os valores dividida pelo número de valores:

x - 1 = 3.481 + 3.448 + … + 3.473 + 3.474 15 ≈ 3.472 x - 2 = 3.258 + 3.254 + … + 3.240 + 3.254 15 ≈ 3.2494

A variância é a soma dos desvios quadrados da média dividida por n - 1 . O desvio padrão é a raiz quadrada da variância:

s 1 = ( 3.481 - 3.472 ) 2 + … + ( 3.474 - 3.472 ) 2 15 - 1 ≈ 0.0083 s 2 = ( 3.258 - 3.2494 ) 2 + … + ( 3.254 - 3.2494 ) 2 15 - 1 ≈ 0.0071

Passo 2

Letra a:

Gráfico da probabilidade normal:

Os valores dos dados estão no eixo horizontal e as pontuações normais padronizadas estão no eixo vertical.

Se os dados contiverem n valores de dados, então as pontuações normais padronizadas são os valores z na tabela III correspondendo a uma área de j - 0.5 n (ou a área mais próxima) com j ∈ { 1 , 2,3 , . . . , n } .

A menor pontuação padronizada corresponde à menor quantidade de dados, a segunda menor pontuação padronizada corresponde ao segundo menor valor de dados e assim por diante.

Papel 1:

Papel 2:

A suposição de normalidade parece válida porque os padrões nos gráficos de probabilidade normal são aproximadamente lineares e não continham nenhuma curvatura forte.

Passo 3

Letra b:

Determine as hipóteses:

H 0 = μ 1 = μ 2 H 1 : μ 1 ≠ μ 2

Determine o desvio padrão agrupado:

s p = n 1 - 1 s 1 2 + n 2 - 1 s 2 2 n 1 + n 2 - 2 = ( 15 - 1 ) 0.0083 2 + ( 15 - 1 ) 0.0071 2 15 + 15 - 2 ≈ 0.0077

Determine a estatística de teste:

t = x - 1 - x - 2 ε p 1 n 1 + 1 n 2 = 3.472 - 3.2494 0.0077 1 15 + 1 15 ≈ 79.171

Determine os graus de liberdade (arredondados para o número inteiro mais próximo):

Δ = s 1 2 n 1 + s 2 2 n 2 2 s 1 2 / n 1 2 n 1 - 1 + s 2 2 / n 2 2 n 2 - 1 = 0.0083 2 15 + 0.0071 2 15 2 0.0083 2 / 15 2 15 - 1 + 0.0071 2 / 15 2 15 - 1 ≈ 27

Determine o valor P correspondente da tabela V d f = 27 :

P < 2 × 0.0005 = 0.001

Se o valor P for menor ou igual ao nível de significância, então a hipótese nula é rejeitada:

P < 0.05 ⇒  Rejeita  H 0

Existem evidências suficientes para apoiar a afirmação de que as médias da população são diferentes.

Passo 4

Letra c:

Se o Valor P for menor ou igual ao nível de significância, então a hipótese nula é rejeitada:

P < 0.05 ⇒  Rejeita  H 0

Existem evidências suficientes para apoiar a afirmação de que as médias da população são diferentes.

Passo 5

Letra d:

A conclusão na parte (b) e na parte (c) é a mesma, porque o valor P é extremamente pequeno e, portanto, menor do que ambos os níveis significativos.

Passo 6

Letra e:

c = 95 % = 0.95 ⇒ α = 1 - c = 1 - 0.95 = 0.05

Determine t α / 2 com d f = 27 usando a tabela IV:

t 0.025 = 2.052

Os pontos finais do intervalo de confiança para μ 1 - μ 2 são:

x - 1 - x - 2 - t α 2 ⋅ s p 1 n 1 + 1 n 2 = ( 3.472 - 3.2494 ) - 2.052.0 . 0077 1 15 + 1 15 ≈ 0.2168 x - 1 - x - 2 + t α / 2 ⋅ s p 1 n 1 + 1 n 2 = ( 3.472 - 3.2494 ) + 2.052 ⋅ 0.0077 1 15 + 1 15 ≈ 0.2284

Resposta

  1. Suposição satisfeita
  2. P < 0.001 . Existem evidências suficientes para apoiar a afirmação de que as médias da população são diferentes.
  3. P < 0.001 . Existem evidências suficientes para apoiar a afirmação de que as médias da população são diferentes.
  4. A conclusão na parte (b) e na parte (c) é a mesma, porque o valor P é extremamente pequeno e, portanto, menor do que ambos os níveis significativos.
  5. 0.2168  para   0.2284
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