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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Jay Devore, Probabilidade e estatística para engenharia e ciências- Ed: 6º - Capítulo 5.Exercícios - Ex. 14

Suponha que você tenha 10 lâmpadas, que a vida útil de cada uma seja independente das demais e que cada vida útil tenha distribuição exponencial com parâmetro λ .

a. Qual é a probabilidade de as 10 lâmpadas falharem antes do tempo t?

b. Qual é a probabilidade de exatamente k das 10 lâmpadas falharem antes do tempo t?

c. Suponha que nove lâmpadas tenham vida útil exponencialmente distribuída com parâmetro λ e que a lâmpada que sobrou tenha vida útil exponencialmente distribuída com parâmetro θ (é feita por outro fabricante). Qual é a probabilidade de exatamente cinco das 10 lâmpadas falharem antes do tempo t?

Passo 1

Falaaa, meu querido/minha querida. Como vai?? Aqui, nossa variável aleatória X é dada por:

f X x = λ e - λ x                                           x ≥ 0 0                                                               x < 0

Pois, o enunciado nos diz que temos uma distribuição exponencial com parâmetro λ . Então, bora calcular o que o enunciado nos pede!!!

Passo 2

Seja t ≥ 0 , o que o enunciado nos pede é a probabilidade de todas as lâmpadas falharem antes do tempo t . Logo, essa probabilidade é representada como a interseção de 10 eventos:

A = ⋂ i = 1 10 X i < t

Onde, X i = 1 ,   2 ,   3 ,   … ,   10 são as 10 variáveis aleatórias com distribuição exponencial:

P A = P X 1 < t ∙ P X 2 < t ∙ … ∙ P ( X 10 < t )

= 1 - e - λ t 10

Passo 3

Precisamos saber a probabilidade de uma parte k das 10 lâmpadas falhar antes do tempo t . Logo, precisamos definir uma variável aleatória com distribuição binomial.

O teorema defini o seguinte:

b x ; n ,   p = n x p x 1 - p n - x                                   x = 0 ,   1 ,   2 , … ,   n 0                                                                                       c a s o   c o n t r á r i o

E para o nosso exemplo, x = k , n = 10 e p = 1 - e - λ t . Logo, a probabilidade é:

P X = k = b k ; 10 ,   1 - e - λ t = 10 k 1 - e - λ t k e - λ t 10 - k

Passo 4

Seguindo a mesma lógica do Passo 3.

P E 5 = P A 1 ∪ A 2 = P A 1 + P ( A 2 )

= 9 5 1 - e - λ 5 e - λ 5 e - θ t + 9 4 1 - e - λ t 4 e - λ t 5

Resposta

  1. P A = 1 - e - λ t 10

  2. P ( X = k ) = 10 k 1 - e - λ t k e - λ t 10 - k

  3. P E 5 = 9 5 1 - e - λ 5 e - λ 5 e - θ t + 9 4 1 - e - λ t 4 e - λ t 5

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