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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Montgomery - Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros- Ed: 4º - Capítulo 10.Exercícios - Ex. 4

10-4. Duas maquimas são usadas para encher urrafas de plástico que tém um volume liquido de 16.00 onças. O volume de enchimento pode ser suposto normal, com um desvio-padrão. Um membro do grupo de engenheiros da qualidade suspeita que ambas as maquinas encham até o mesmo volume liquido médio, independentemente de esse volume ser ou não 16.0 onças. Uma amostra alcatória de 10 garrafas é retirada na saida de cada máquina.

(a) Voce acha que o engenheiro está correto? Usc a - 0,05. Qual é o valor P para esse teste?

(b) Calcule um intervalo de confiança de 95% para a diferença de médias. De uma interpretação prática desse intervalo.

(C) Qual é a potencia do teste no item ta) para uma diferença verdadeira de médias iguais. D) Supondo tamanhos iguais de amostra, que tamanho de amostra deveria ser usado para assegurar B = 0,05 se a diferença verdadeira de medias for (0,042 Considlere a 0.05.

Passo 1

Oi oi gente,

Vamos lá fazer mais uma questão passo a passo?

Vem comigo!

Dados:

H 0 : μ 1 = μ 2 H 1 : μ 1 ≠ μ 2 σ 1 = 0.020 σ 2 = 0.025 n 1 = 10 n 2 = 10 α = 0.05

A média é a soma de todas os valores dividida pelo número de valores:

x - 1 = 16.03 + 16.01 + … + 16.02 + 15.99 10 ≈ 16.015 x - 2 = 16.02 + 16.03 + … + 15.99 + 16.00 10 ≈ 16.005

Letra a:

Determine o valor da estatística de teste:

z = x - 1 - x - 2 σ 1 2 n 1 + σ 2 2 n 2 = 16.015 - 16.005 0.020 2 10 + 0.025 2 10 ≈ 0.99

O valor P é a probabilidade de obter um valor mais extremo ou igual à estatística de teste padronizada z. Determine a probabilidade usando a tabela III.

P = P ( Z < - 0.99  or  Z > 0.99 ) = 2 P ( Z < - 0.99 ) = 2 ( 0.161087 ) = 0.322174

Se o valor P for menor que o nível de significância α ,   então a hipótese nula é rejeitada.

P > 0.05 ⇒  Falha em rejeitar  H 0

Não há evidências suficientes para apoiar a alegação de que as médias da população não são iguais.

Passo 2

Letra b:

Para o nível de confiança 1 - α = 0.95 , determine z α / 2 = z 0.025 usando a tabela III (procure 0.025 na tabela, o valor z é então o valor z encontrado com sinal oposto):

z α / 2 = 1.96

Os pontos finais do intervalo de confiança para μ 1 - μ 2 são:

x - 1 - x - 2 - z α 2 ⋅ σ 1 2 n 1 + σ 2 2 n 2 = ( 16.015 - 16.005 ) - 1.96 ⋅ 0.020 2 10 + 0.025 2 10 ≈ - 0.0098

x - 1 - x - 2 + z α 2 ⋅ σ 1 2 n 1 + σ 2 2 n 2 = ( 16.015 - 16.005 ) + 1.96 ⋅ 0.020 2 10 + 0.025 2 10 ≈ 0.0298

Estamos 95% confiantes de que o volume líquido médio da máquina 1 está entre 0.0098 onças abaixo e 0.0298 onças acima do volume líquido médio da máquina 2.

Passo 3

Letra c:

A potência é a probabilidade de rejeitar a hipótese nula quando a hipótese alternativa for verdadeira.

Determine o valor z correspondente a uma probabilidade de α = 2.5 % = 0.025 :

z = ± 1.96

A diferença média da amostra correspondente é a diferença média da população (da hipótese) aumentada pelo produto do valor z e o desvio padrão:

x - 1 - x - 2 = μ 1 - μ 2 - z α 2 ⋅ σ 1 2 n 1 + σ 2 2 n 2 x - = 0 - 1.96 0.020 2 10 + 0.025 2 10 ≈ - 0.0198 x - 1 - x - 2 = μ 1 - μ 2 + z α / 2 ⋅ σ 1 2 n 1 + σ 2 2 n 2 x - = 0 + 1.96 0.020 2 10 + 0.025 2 10 ≈ 0.0198

O valor z é a diferença média da amostra diminuída pela diferença média da população (diferença da média alternativa!) dividido pelo desvio padrão:

z = x - 1 - x - 2 - μ 1 - μ 2 σ 1 2 n 1 + σ 2 2 n 2 = - 0.0198 - 0.04 0.020 2 10 + 0.025 2 10 ≈ - 5.91 z = x - 1 - x - 2 - μ 1 - μ 2 σ 1 2 n 1 + σ 2 2 n 2 = 0.0198 - 0.04 0.020 2 10 + 0.025 2 15 ≈ - 2.00

Determine a probabilidade de rejeitar a hipótese nula usando a tabela III.

P = P ( Z < - 5.91   o r   Z > - 2.00 ) = P ( Z < - 5.91 ) + P ( Z > - 2.00 ) = P ( Z < - 5.91 ) + P ( Z < 2.00 ) = 0 + 0.977250 = 0.977250

Passo 4

Letra d:

β = 0.05

Fórmula do tamanho da amostra:

n = z α / 2 + z β 2 σ 1 2 + σ 2 2 Δ - Δ 0 2

Δ 0 é a hipótese nula μ 1 - μ 2 = Δ 0

Δ é a hipótese alternativa μ 1 - μ 2 = Δ .

Determine z α / 2 = z 0.025 usando a tabela III (procure 0.025 na tabela. O valor z é então o valor z encontrado com o sinal oposto):

z α / 2 = 1.96

Determine z β = z 0.05 usando a tabela III (procure 0.025 na tabela. O valor z é então o valor z encontrado com o sinal oposto):

z α / 2 = 1.64

Preencha os valores conhecidos na fórmula e avalie:

n 1 = n 2 = ( 1.96 + 1.64 ) 2 0.020 2 + 0.025 2 ( 0.04 - 0 ) 2 = 9

Resposta

  1. P = 0.362822 . Não há evidências suficientes para apoiar a alegação de que as médias da população não são iguais.
  2. - 0.0098 ≤ μ 1 - μ 2 ≤ 0.0298
  3. P o t ê n c i a   = 0.977250
  4. n 1 = n 2 = 9
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