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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Montgomery - Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros- Ed: 4º - Capítulo 10.Exercícios - Ex. 60

10-60. Dc uma amostra aleatória de 500 adultos residentes em uma vila.

385 foram favoráveis ao aumento do limite de velocidade em uma auto-

esirkla para 75 mph. enquanto em outra amostra de 400 adultos resi-

dentes em uma outra vila. 267 foram favoráveis a esse aumento cdo li-

mite de velxidade.

a) Fsses dados indicam que há uma diferença entre os residentes das

duas vilas no tocante ao apoio para aumentar o limile de velockla-

de? Use a = 0.05. Qual é o valor P para esse leste?

b) Construa um intervalo de confianca de 9654 para a diferenca das duas

proporçues. Forneça uma inierpretação pratica desse intervalo

Passo 1

Oi oi gente,

Vamos lá fazer mais uma questão passo a passo?

Vem comigo!

Letra a:

Um procedimento de teste de amostra grande: Considere o teste em que H 0 : p 1 - p 2 = 0 . O valor da estatística de teste para as grandes amostras é

z = p ^ 1 - p ^ 2 p ^ q ^ ⋅ 1 m + 1 n

Onde

p ^ = m m + n ⋅ p ^ 1 + n m + n ⋅ p ^ 2

Dependendo da hipótese alternativa, o valor P pode ser determinado como a área correspondente sob a curva normal padrão. O teste deve ser usado quando m ⋅ p 1 ^ , m ⋅ q 1 ^ ,   n ⋅ p 1 ^     e   n ⋅ q 1 ^ ,   são pelo menos 10.

Pelo comentário, para n = 500 e m = 400 as estimativas de p 1 ,   p 2 são

p 1 ˙ = 385 500 = 0.77 p 2 ˙ = 267 400 = 0.6675

e a estimativa de p   é dada por

p ^ = m m + n ⋅ p ^ 1 + n m + n ⋅ p ^ 2 = 400 400 + 500 ⋅ 0.77 + 500 400 + 500 ⋅ 0.6675 = 0.7244

Passo 2

Para o teste alternativo de dois lados H 0 : p 1 - p 2 = 0 versus H a : p 1 - p 2 ≠ 0 e α = 0.05 , o valor crítico e a região crítica são dados por

z α 2 = 1.96 z < - z α / 2   e     z > z α / 2

respectivamente. O valor da estatística de teste é

z = p ^ 1 - p ˙ 2 p ^ q ^ ⋅ 1 m + 1 n = 0.77 - 0.6675 0.7244 ⋅ 1 - 0.7244 ⋅ 1 400 + 1 500 = 3.42

No nível de significância de α = 0.05 , a hipótese nula deve ser rejeitada porque:

z = 3.42 > 1.96 = z α / 2

já que o valor das estatísticas de teste cai na região crítica. O valor P deste teste é

P = 2 ⋅ P ( Z > 3.42 ) = 0.001

que pode ser calculado usando um software.

Passo 3

Letra b:

Um intervalo de confiança para p 1 - p 2 com nível de confiança de aproximadamente 100 ( 1 - α ) % é:

p ^ 1 - p ^ 2 ± z α / 2 ⋅ p ^ 1 q ^ 1 m + p ^ 2 q ^ 2 n

O intervalo de confiança pode ser usado quando m ⋅ p 1 ^ , m ⋅ q 1 ^ ,   n ⋅ p 1 ^     e   n ⋅ q 1 ^ ,   são pelo menos 10.

Pelo comentário, o intervalo de confiança de 95% na diferença nas duas proporções é

p ^ 1 - p ^ 2 ± z α 2 ⋅ p ˙ 1 q ^ 1 m + p ˙ 2 q ˙ 2 n 0.77 - 0.6675 ± 1.96 ⋅ 0.77 ⋅ 1 - 0.77 400 + 0.6675 ⋅ 1 - 0.6675 500 ( 0.0434,0.1616 )

Pelo intervalo de confiança, pode-se perceber que a diferença de proporção está entre 0.0434 e 0.1616. Não inclui zero, o que implica que as proporções diferem e a hipótese nula pode ser rejeitada. Como todos os números do intervalo são não negativos, isso significa que a proporção p 1 ^ é maior que p 2 ^ .

Resposta

  1. Rejeite a hipótese nula.
  2. P ( 0.0434,0.1616 )
Ver Outros Exercícios desse livro

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