Numa urna têm-se cinco tiras de papel, numeradas 1, 3, 5, 5, 7. Uma tira é sorteada e recolocada na urna; então, uma segunda tira é sorteada. Sejam e o primeiro e o segundo números sorteados.

(a) Determine a distribuição conjunta de e .

(b) Obtenha as distribuições marginais de e . Elas são independentes?

(c) Encontre a média e a variância de , e .

Analisando apenas a probabilidade da primeira retirada :

Como temos 5 possibilidades (1, 3, 5, 5, 7), podemos afirmar que

Como na urna tem duas tiras de papel do número 5, temos

Montando a tabela de distribuição marginal de

Analisando apenas a probabilidade da segunda retirada :

Como temos 5 possibilidades (1, 3, 5, 5, 7), pois é COM REPOSIÇÃO, podemos afirmar que

Como na urna tem duas tiras de papel do número 5, temos

Montando a tabela de distribuição marginal de

Montando a tabela de distribuição de e

Galera, as distribuições marginais estão na última linha e na última coluna. Montamos a tabela de distribuição dos dois só para mostrar que elas SEMPRE vão aparecer e estar nas extreminidades, beleza? 😉.

Só tá faltando uma coisa, elas são independentes?

Se nós olharmos para tabela de cima, veremos que e são independentes, pois os produtos marginais são iguais as caselas.

(c) Encontre a média e a variância de , e .

Primeiro, vamos encontrar a média e a variância de e .

Sabemos que

Portanto

Para o cálculo da precisamos lembrar da seguinte fórmula:

Portanto, precisamos calcular

Substituindo nas fórmulas, temos:

Agora para encontramos a média e a variância de vamos usar a média e a variância de e .

Devido a independência