(d) Como seriam as respostas anteriores se a primeira tira de papel não fosse devolvida à urna antes da segunda extração?

Passo 1

(d) Como seriam as respostas anteriores se a primeira tira de papel não fosse devolvida à urna antes da segunda extração?

A primeira coisa que devemos fazer é determinar o espaço amostral, agora estamos fazendo o experimento SEM reposição, portanto temos:

Ω = { 1,3 ; 1,5 ; 1 , 5 ; 1,7 ; 3,1 ; 3,5 ; 3 , 5 ; 3,7 ; 5,1 ; 5,3 ;

5 , 5 ; 5,7 ; 5 , 1 ; 5 , 3 ; 5 , 5 ; 5 , 7 ; 7,1 ; 7,3 ; 7,5 ; 7 , 5 }

Passo 2

Analisando apenas a probabilidade da primeira retirada ( X 1 ) :

Como temos 5 possibilidades (1, 3, 5, 5, 7), podemos afirmar que

P X = 1 = P X = 3 = P X = 5 = P X = 7 = 1 5

Como na urna tem duas tiras de papel do número 5, temos

P X = x = 2 5

Montando a tabela de distribuição marginal de X 1 .

Passo 3

Analisando apenas a probabilidade da segunda retirada ( X 2 ) :

Como temos 5 possibilidades (1, 3, 5, 5, 7), podemos afirmar que

P X = 1 = P X = 3 = P X = 5 = P X = 7 = 1 5

Como na urna tem duas tiras de papel do número 5, temos

P X = x = 2 5

Montando a tabela de distribuição marginal de X 2 .

Passo 4

Montando a tabela de distribuição de X 1 e X 2 .

Só tá faltando uma coisa, elas são independentes?

Se nós olharmos para tabela de cima, veremos que X 1 e X 2 NÃO são independentes, pois os produtos marginais NÃO são iguais as caselas.

Passo 5

Por fim, vamos encontrar a média e a variância de X 1 , X 2 e   X - = ( X 1   +   X 2   ) / 2 .

Notem, que COM ou SEM reposição P ( X 1 = x ) e P ( X 2 = x ) são as mesmas, logo

E X 1 = E X 2 = 1 . 1 / 5 + 3 . 1 5 + 5 . 2 5 + 7 . 1 5 = 4,2

V a r X 1 = V a r X 2 = 21,8 - 4,2 2 = 4,16

Como X 1 e X 2 não são independentes, da distribuição conjuta temos:

A partir dessa tabela, temos

E X - = E X 1 + X 2 2 = 1 2 ( 2 × 4,2 ) = 4,2

E X - 2 = 19,2 → V a r X - = 19,2 - 4,2 2 = 1,56

Resposta

Letra (a)

Letra (b)

Não são independentes, pois os produtos das marginais não são iguais as caselas.

Letra (c)

E X 1 = E X 2 = 4,2

V a r X 1 = V a r X 2 = 4,16

E X - = 4,2

V a r X - = 1,56

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