Enunciado
Probabilidade e Estatística - Montgomery - Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros- Ed: 4º - Capítulo 10.Exercícios - Ex. 80
10-80. Três diferentes pesticidas podem ser usados para controlar a
infestação em videiras. Suspeita-se que o pesticida 3 seja mais efe-
tivo do quc os outros dois. Em uma vinícola particular, trés planta-
ções diferentes de uvas Pinot Noir são selecionadas para estudo. Os
seguintes resultados para o rendimento são obtidos:
Se , for o rendimento médio verdadeiro depois do tratamento com
o i-ésimo pesticida, estaremos interessados na grandeza
que mede a diferença nos rendimentos médios entre os pesticidas 1
e 2 e o pesticida 3. Se os tamanhos das amostras n, forem grandes, o
estimador (por exemplo. ) obtido trocando-se cada , individual
por X. é aproximadamente normal.
a) Encontre, para . um intervalo de confiança aproximado de
para uma amostra grande.
b) Esses dados confirmam a afirmação de que o pesticida 3 é mais
efetivo do que os outros dois? Use na determinação de
sua resposta.
Passo 1
A quantidade em que você está interessado é:
Letra a:
Podemos estimar essa quantidade substituindo as médias populacionais pela média da amostra :
O valor esperado da estimativa é então (usando que o valor esperado da média da amostra é a média da população):
O desvio padrão da média da amostra é o desvio padrão da população dividido pela raiz quadrada do tamanho da amostra. Usando propriedades da variância, então obtemos:
Podemos então estimar o desvio padrão da média da amostra, substituindo os desvios padrão da população pelos desvios padrão da amostra
Nota: Se você estimar o desvio padrão da população, então, precisamos usar a distribuição t-Student em vez da distribuição normal padrão.
Para simplificar, vamos deixar que os graus de liberdade sejam o menor tamanho de amostra diminuído em 1.
O intervalo de confiança de amostra grande de para é então a estimativa diminuída / aumentada pelo produto do valor crítico da distribuição t-Student e a estimativa do desvio padrão da estimativa:
Passo 2
Letra b:
Determine as hipóteses:
(porque se o pesticida 3 é mais eficaz, então esperamos que sua média seja maior do que a média das outras duas).
Determine a estatística de teste:
Determine os graus de liberdade (arredondados para o número inteiro mais próximo):
O valor P é a probabilidade de obter o valor da estatística de teste, ou um valor mais extremo. O valor P é o número (ou intervalo) no título da coluna da Tabela V contendo o valor t na linha :
Se o valor P for menor ou igual ao nível de significância, então a hipótese nula é rejeitada:
Existem evidências suficientes para apoiar a alegação de que o pesticida 3 é mais eficaz do que os outros dois.
Resposta
- Existem evidências suficientes para apoiar a alegação de que o pesticida 3 é mais eficaz do que os outros dois.