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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Bussab - Estatística Básica- Ed: 9º - Capítulo 13.Problemas - Ex. 35b

De 400 moradores sorteados de uma grande cidade industrial, 300 são favoráveis a um

projeto governamental, e de uma amostra de 160 moradores de uma cidade cuja princi-

pal atividade é o turismo, 120 são contra.

  1. Qual seria um IC de 90% para a proporção de favoráveis ao projeto nas duas cidades? (Suponha que o número de pessoas nas duas cidades seja aproximadamente igual.)

Passo 1

  Primeiro, vamos definir a variável a ser estudada:

X = p r o p o r ç ã o   d e   m o r a d o r e s   f a v o r á v e i s   a o   p r o j e t o .

Temos que,

p ^ = 300 + 40 N + N =

Sabemos que p ^ t u r = 300 N e p ^ i n d = 40 N

Do enunciado:

p ^ i n d = 0,75

p ^ t u r = 0,25

Logo,

N   p ^ t u r + N p ^ i n d 2 N = p ^ t u r + p ^ i n d 2 = 0,75 + 0,25 2 = 0,5

Passo 2

V a r p ^ = V a r p ^ t u r + p ^ i n d 2 = 1 2 2 V a r p ^ t u r + V a r p ^ i n d =

È sabido que a proporção amostral possui a seguinte distribuição:

p ^ ~ N p ; p 1 - p n

E Podemos aproximar

p 1 - p n ~ p ^ 1 - p ^ n

Portanto

= 1 4 p ^ t u r 1 - p ^ t u r n t u r + p ^ i n d 1 - p ^ i n d n i n d = 1 4 0,75 0,25 400 + 0,25 0,75 160 =

V a r p ^ = 0,00041

Passo 3

Temos então:

I C p ; 0,90 = p ^ ± z α 2 .   V a r p ^ = 0,5 ± 1,64   0,00041 = ( 0,5 ± 0,0332 )

Logo:

I C p ; 0,90 = ( 0,4668   ; 0,5332 )

Resposta

(b) Supondo que o número de pessoas nas cidades sejam aproximadamente iguais, encontramos que a proporção de moradores favoráveis ao projeto de lei em ambas cidades, deve ser entre 46,68% e 53,32%.

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