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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Montgomery - Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros- Ed: 4º - Capítulo 8.Exercícios - Ex. 96

8-96.Considere um intervalo bilateral de confianca para a mediap

quando o for conhecido:

em queo+o=a.Sea,=a,=a/2.teremos o intervalo de con-

fianca usual de 100(1-a)%para p.Quando a,a.o intervalo

naoesimetrico em tomno de u.O comprimento do intervalo el.=

Dfiu,lE4)/Vn.Prove que o comprimento do intervalo Le mini-

mizado quando o=a,=o2.Sugesto:lembre-se de que(=)

＝1-a:logo.Φ(1-a)=zearelacao entre a derivadu de uma

funcaoy=ft)e a inversax=f'(e(ddyyf'(y)=1/(ddy(x).

Passo 1

Oi galera, vamos a mais uma resolução passo a passo pra vocês!

O tamanho do intervalo:

x - - z α 1 σ n ≤ μ ≤ x - + z α 2 σ n

é

L = σ z α 1 + z α 2 n

onde α 1 + α 2 = 1 . Se assumirmos que α 1 = α 2 = α 2 então, o comprimento do intervalo L é:

L = 2 σ z α 2 n

Sabemos que se no ponto x a segunda derivada é positiva, a função naquele ponto tem um mínimo. Portanto,

d d α L = 2 σ n d d α z α 2 = * 2 σ n d d α Φ - 1 1 - α 2 = ( * * ) 2 σ n 1 d d α Φ z α 2

( * ) : Lembre-se de que Φ ( z ) = 1 - α ,  entao  Φ - 1 ( 1 - α ) = z α

( * * ) : A relação entre a derivada de uma função y = f ( x ) e o inverso f - 1 ( y ) = x é:

d d y f - 1 ( y ) = 1 d d y f ( x )

Passo 2

Sabemos que Φ ( z ) é a função de distribuição de probabilidade de variáveis ​​aleatórias com distribuição normal padronizada, que a derivada de Φ ( z ) é a distribuição de densidade de variáveis ​​aleatórias com distribuição normal padronizada.

d d z Φ z = 1 2 π e - s 2 2                                           ( 1 )

Agora, da Equação (1), obtemos

d d α L = 2 σ n 1 1 2 π e - α α 2 2 = 2 σ 2 π n e z α 2 2 2

Portanto, a segunda derivada da função L é

d 2 d α 2 L = d d α d d α L = 2 σ 2 π n e s α / 2 2 z α / 2

Então, d 2 d α 2 L > 0 e o comprimento do intervalo L é minimizado quando α 1 = α 2 = α 2 .

Resposta

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