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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Montgomery - Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros- Ed: 4º - Capítulo 8.Exercícios - Ex. 98

8-98.Suponha que X 1 ,   X 2 ,   … ,   X n   seja uma amostra aleatoria proveniente de uma distribuição continua de probabilidades com mediana p.

  1. Mostre que

    2. P { m i n ( X ) < j < m a x ( X ) }

    Sugestão: o complemento do evento m i n ( X ) < j < m a x ( X ) é m a x ( X ) ≤ j ∪ m i n ( X ) ≤ j , porém m a x ( X ) ≤ j se, e somente se, X ≤ j para todo i.

  2. Escreva um intervalo de confianca de 100 ( 1 - a ) % para a mediana j em que

α = ( 1 / 2 ) n - 1

Passo 1

Oi galera, vamos a mais uma resolução passo a passo pra vocês!

Suponha que X 1 ,   X 2 , . . . ,   X n é uma amostra aleatória de uma distribuição de probabilidade contínua com mediana μ . Variáveis ​​aleatórias X 1 ,   X 2 , . . . ,   X n são independentes entre si e para i ∈ { 1 , . . . , n } .

P X i ≤ μ = 1 2

Portanto,

P m i n X i < μ < m a x X i = ( * ) 1 - P m i n X i ≥ μ ∪ m a x X i ≤ μ = 1 - P m i n X i ≥ μ + P m a x X i ≤ μ

( * ) O complemento do evento [ m i n   X i   < μ < m a x   X i ] é [ m i n   X i ≥ μ   ∪   m a x   X i ≤ μ .

Passo 2

Então,

P m i n X i ≥ μ = P ∀ i ∈ 1 , … , n : X i ≥ μ = P ∩ i = 1 n X i ≥ μ = ( * * ) ∏ i = 1 n   P X i ≥ μ = 1 2 n

e

P m a x X i ≤ μ = P ∀ i ∈ 1 , … , n : X i ≤ μ = P ∩ i = 1 n X i ≤ μ = ( * * ) ∏ i = 1 n   P X i ≤ μ = 1 2 n

( * * ) As variáveis ​​aleatórias X 1 ,   X 2 , . . . ,   X n são independentes entre si. Portanto, de (1) obtemos:

P m i n X i < μ < m a x X i = 1 - 1 2 n - 1 2 n = 1 - 2 1 2 n

ou seja

P m i n X i < μ < X i = 1 - 1 2 n - 1

Resposta

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