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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Montgomery - Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros- Ed: 4º - Capítulo 9.Exercícios - Ex. 121

9-121. Um artigo na revista Biologicul Truce Element Research ("Inte-

raction ofDietary Calcium, Manganese, and Manganese Source (Mn

Oxide or Mn Methionine Complexjon Chick Performance and Manga-

nese Utilication" -- Interação de Dieta de Cálcio. de Manganes c Fonte

de Manganes (Óxido de Mn ou Complexo Metionina de Mn) com o De-

sempenho de Pintos e com a Utilização de Manganés: 1991. Vol. 29. No

3.p 217-228) mostrou os seguintes resultados de ensaio com tecidos para

o manganés do fígado em pintos alimentados com dictaricas em Ca.

（a) Teste a hipótese . usando a = 0.01.

（b) Qual é o valor P para esse teste?

（c) Discuta como o item (a) poderia ser respondido pela elaboração de

um intervalo de confianca bilateral de 99'2 para r.

Passo 1

E aiii gente, tudo bom??

Vamos começar a resolvar essa questão que é super tranquila!

Confia em mim

Suponha que desejamos testar a hipótese de que a variância de uma população normal σ 2 é igual a σ 2 0 . Seja X 1 , X 2 , . . . X n   uma amostra aleatória de uma observação desta população. Para testar

H 0 : σ 2 = σ 0 2 ,  contra   H 1 : σ 2 ≠ σ 0 2

vamos usar a estatística de teste:

χ 0 2 = ( n - 1 ) S 2 σ 0 2 (1)

A estatística de teste χ 2 0 definida na Equação (1) segue a distribuição qui-quadrado com n - 1 graus de liberdade, se a hipótese nula H 0 : σ 2 = σ 2 0 é verdadeira. Para realizar um teste de nível de significância fixo, pegaríamos uma amostra aleatória da população de interesse e calcularíamos χ 2 0 , que é o valor da estatística de teste χ 2 0 e a hipótese nula H 0 : σ 2 = σ 2 0 seria rejeitada se:

χ 0 2 > χ ρ 2 , n - 1 2 ,  ou se   χ 0 2 < χ 1 - 9 2 , n - 1 2                 ( 2 )

onde χ 2 α , n - 1 e χ 2 1 - α 2 ,   n - 1 são os pontos percentuais 100 α / 2 acima e abaixo da distribuição qui-quadrado com n - 1 graus de liberdade.

O valor P para um teste de cauda inferior seria encontrado como a área (probabilidade) na cauda inferior da distribuição do qui-quadrado à esquerda (ou abaixo) do valor calculado da estatística de teste χ 2 0 . Para a alternativa de dois lados, encontre a área da cauda associada ao valor calculado da estatística de teste e duplique-a para obter o valor P.

Portanto, o valor P para este teste é:

Valor p  = P χ 0 2 < χ α , n - 1 2                           ( 3 )

Passo 2

Uma amostra aleatória é n = 12 e α = 0.01

A média da amostra é

x - = 1 12 ∑ i = 1 12   x i = 5.988

e o desvio padrão é

s = ∑ i = 1 n   x i - x - 2 n - 1 1 2 = ∑ i = 1 12   x i - 5.988 2 11 1 2 = 0.758

Passo 3

Letra a:

Consideramos o teste de H 0 : σ = 0.6 , contra H 1 : σ ≠ 0.6 .

χ 0 2 = ( 12 - 1 ) 0.758 2 0.6 2 = 17.58

Agora, da Equação (1) obtemos valor para a estatística de teste

χ 0.005,11 2 = 26.76 χ 1 - 0.005,11 2 = 2.60

Portanto,

χ 1 - 0.005,11 2 = 2.60 < χ 0 2 = 17.58 < 26.76 = χ 0.005,11 2

Agora, da Equação (2), concluímos que falhamos em rejeitar H 0 .

Passo 4

Letra b:

O valor P para este teste que obtemos da Equação (3) é

valor P  = 2 P χ α 2 , 11 2 > 17.58

Nós sabemos que do Apêndice Tabela IV:

P χ α 2 , 11 2 > 17.28 = 0.1 P χ α 2 , 11 2 > 19.68 = 0.05

Então

P χ α 2 , 11 2 > 19.68 < P χ α 2 , 11 2 > 17.58 < P χ α 2 , 11 2 > 17.28 0.05 < P χ α 2 , 11 2 < 17.58 < 0.1

Portanto, o valor P para este teste é

2 × 0.05 <  Valor P  < 2 × 0.1

0.1 < V a l o r   P   < 0.2

Passo 5

Letra c:

Se s 2 é a variação da amostra de uma amostra aleatória de n observações de uma distribuição normal com variação desconhecida σ 2 , então um intervalo de confiança de 100 ( 1 - α ) % para σ   é

( n - 1 ) s 2 χ α 2 , n - 1 2 ≤ σ ≤ n - 1 s 2 χ 1 - α 2 , n - 1 2                       ( 1 )

onde χ 2 α 2 ,   n - 1 e χ 2 1 - α 2 ,   n - 1 são os pontos percentuais de 100 α 2 superior e inferior da distribuição qui-quadrado com n - 1 graus de liberdade, respectivamente.

Agora, das Equações (1), obtemos

11 × 0.758 2 26.76 ≤ σ ≤ 11 × 0.758 2 2.60

Então, um intervalo de confiança bilateral de 99% para σ é

0.486 ≤ σ ≤ 1.559

Nós falhamos em rejeitar H 0 porque 0.6 ∈ ( 0.486 ,   1.559 ) .

Resposta

  1. Falhamos em rejeitar H 0 porque χ 1 - 0.005,11 2 = 2.60 < χ 0 2 = 17.58 < 26.76
  2. χ 0.005,11 2
  3. 0.1 < v a l o r   P < 0.2
  4. Nós falhamos em rejeitar H 0 porque 0.6 ∈ ( 0.486 ,   1.559 ) .
Ver Outros Exercícios desse livro

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