9-118. Um artigo na revista Food lesting and Analyszs (“Improving Re-

producibiliry of Refractometry Measurements of Fruit Juices" - Me-

Thorando a Reprodutibilidade de Medidas de Refratometria de Sucos de

Frulas. 1999. Vol. 4. N." 4. p 13-171 mediu a conccntracao ( Brix) de

açúcar em suco claro de maçàa. Todas as leituras foram tomadas a 20:

a) Teste a hipótese Encontre o valor P.

b)Calcule a potencia do teste se a média verdadeira for 11.4.

c) Que tamanho de amostra seria requenido para detectar uma concen-

tração média verdadeira de 11.45 se quiséssemos que a potência do

teste fosse no minimo 0.9?

d) Explique como a pergunta do item (a) poderia ser respondida cons-

truindo um intervalo de confianca bilateral para a concentração média

de açúcar.

e) Há evidencia para confirmar a suposição de que a concentracão de

açúcar seja normalmente distribuida?

Passo 1

E aiii gente, tudo bom??

Vamos começar a resolvar essa questão que é super tranquila!

Confia em mim

Dado:

n = 20 μ 0 = 50

A média é a soma de todos os valores dividida pelo número de valores:

x - = 11.48 + 11.45 + 11.48 + … + 11.45 + 11.46 + 11.47 20 ≈ 11.4655

A variância é a soma dos desvios quadrados da média dividida por n - 1 . O desvio padrão é a raiz quadrada da variância:

s = ( 11.48 - 11.4655 ) 2 + … + ( 11.47 - 11.4655 ) 2 20 - 1 ≈ 0.0221

Passo 2

Letra a:

Determine as hipóteses:

H 0 : μ = 11.5 H 1 : μ ≠ 11.5

Determine o valor da estatística de teste:

t = x - - μ 0 s / n = 11.4655 - 11.5 0.0221 / 20 ≈ - 6.981

O valor P é a probabilidade de obter o valor da estatística de teste, ou um valor mais extremo. O valor P é o número (ou intervalo) no título da coluna da Tabela V contendo o valor t na linha d f = n - 1 = 20 - 1 = 19 :

P < 2 × 0.0005 = 0.001

Se o valor P for menor do que o nível de significância, a hipótese nula é rejeitada.

P < 0.05 = 5 % ⇒  Rejeita  H 0

Há evidências suficientes para apoiar a afirmação de que a média é diferente de 11.5 .

Passo 3

Letra b:

μ a = 11.4

A potência é a probabilidade de rejeitar a hipótese nula quando a hipótese alternativa for verdadeira.

Determine o valor t correspondente a α = 0.025 e d f = n - 1 = 20 - 1 = 19 na tabela V:

t = ± 2.093

A média da amostra correspondente é a média da população (da hipótese) aumentada pelo produto do valor z e o desvio padrão:

x - = μ + t s n = 11.5 - 2.093 0.0221 20 ≈ 11.4897 x - = μ + t s n = 11.5 + 2.093 0.0221 20 ≈ 11.5103

O valor t é a média da amostra diminuída pela média da população (média alternativa). dividido pelo desvio padrão:

t = x - - μ s n = 11.4897 - 11.4 0.0221 20 ≈ 18.15 t = x - - μ s / n = 11.5103 - 11.4 0.0221 / 20 ≈ 22.32

Determine a probabilidade de rejeitar a hipótese nula usando a tabela V.

P o t ê n c i a ≈ 1

Passo 4

Letra c:

μ a = 11.45

O poder é a probabilidade de rejeitar a hipótese nula quando a hipótese alternativa for verdadeira.

Determine o valor t correspondente com 1 - p o t ê n c i a 2 = 1 - 0.9 2 = 0.05   e d f = n - 1 = 20 - 1 = 19 na tabela V:

t = ± 1.729

Determine o valor t correspondente a α = 0.025 e d f = n - 1 = 20 - 1 = 19 na tabela V:

t = ± 2.093

A média da amostra correspondente é a média da população (da hipótese) aumentada pelo produto do valor z e o desvio padrão:

x - = μ + t s n = 11.5 - 2.093 0.0221 n x - = μ + t s n = 11.5 + 2.093 0.0221 n

O valor t é a média da amostra diminuída pela média da população (média alternativa), dividida pelo desvio padrão:

t = x - - μ s n = 11.5 - 2.093 0.0221 n - 11.45 0.0221 n = 2.2624 n - 2.093 t = x - - μ s / n = 11.5 + 2.093 0.0221 n - 11.45 0.0221 / n = 2.2624 n + 2.093

Esses valores devem ser iguais a t = ± 1.729

2.2624 n - 2.093 = 1.729

Adicione 2.093 a cada lado:

2.2624 n = 3.822

Divida cada lado por 2.2624:

n ≈ 1.6894

Eleve ao quadrado cada lado e arredonde até o inteiro mais próximo.

n ≈ 2.8539 < 3

Existe uma outra equação que tem uma raiz real, que é 2.2624 n - 2.093 = 1.729 que tem um tamanho de amostra de n = 1 .

O tamanho mínimo da amostra é então o valor mais alto de n encontrado por qualquer equação:

n = 3

Passo 5

Letra d:

Se o intervalo de confiança bilateral contém 11.5, então não há suficientes evidências para apoiar a afirmação de que a média da população é diferente de 11.5.

Se o intervalo de confiança bilateral não contém 11.5, então há evidências suficientes para apoiar a alegação de que a média da população é diferente de 11.5.

Passo 6

Letra e:

Os resultados dos dados estão no eixo horizontal e os escores normais padronizados estão no eixo vertical.

Se os dados contiverem valores de dados, as pontuações normais padronizadas são os valores z na tabela III correspondendo a uma área de j - 0.5 n (ou a área mais próxima) com j ∈ { 1 , 2,3 , . . . , n } .

A menor pontuação padronizada corresponde ao menor valor de dados, o segundo menor, a pontuação padronizada corresponde ao segundo menor valor de dados e e assim por diante.

O padrão no gráfico de probabilidade normal não contém forte curvatura e parece ser aproximadamente linear. Isso indica que os dados são normalmente distribuídos.

Resposta

  1. Há evidências suficientes para apoiar a alegação de que a média é diferente de 11.5.
  2. p o t ê n c i a ≈ 1
  3. n = 3
  4. Se o intervalo de confiança bilateral contém 11.5, então não há evidência suficiente para apoiar a alegação de que a média da população é diferente de 11.5.
  5. Se o intervalo de confiança bilateral não contém 11.5, então há evidências suficientes para apoiar a alegação de que a média da população é diferente de 11.5.

  6. Sim
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