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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Montgomery - Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros- Ed: 4º - Capítulo 9.Exercícios - Ex. 126

9-126. Suponha que desejamos testar em que a população seja normal. com σ conhecido.seja 0

e defina a região crítica de modo que rejeitaremos sendo o valor da estatística usual de teste para essas

hipóteses.

（a) Mostre que a probabilidade do erro tipo I para esse teste é

（b) Suponha que a média verdadeira seja. Deduza uma

expressão para no caso do teste anterior.

Passo 1

E aiiii galera, vamos resolver essa questão aqui rapidinho?

Dados:

H 0 : μ = μ 0 H 1 : μ ≠ μ 0

A região crítica é   z 0 ∣ z 0 < - z α - ϵ  ou  z 0 > z ϵ  com  0 < ϵ < α

Passo 2

Letra a:

A probabilidade de um erro tipo I é a probabilidade de rejeitar a hipótese nula H 0 , ao assumir que a hipótese nula é verdadeira e, portanto, a probabilidade de um erro tipo I é igual à probabilidade de z 0 estar na região crítica:

P (  erro tipo I ) = P z 0 < - z α - ϵ  or  z 0 > - z ϵ = P z 0 < - z α - ϵ + P z 0 > z ϵ

A distribuição normal padrão é simétrica em torno de 0:

P (  erro tipo  I ) = P z 0 < - z α - ϵ + P z 0 > - z ϵ = P z 0 > z α - ϵ + P z 0 > z ϵ

z 0 é definido como o valor z que tem uma probabilidade à direita de a (assim, P ( z > z a ) = a ) :

P (  erro tipo  I ) = P z 0 > z α - ϵ + P z 0 > z ϵ = α - ϵ + ϵ = α =

Passo 3

Letra b:

Dado:

μ 1 = μ 0 + δ

A região crítica é z 0 ∣ z 0 < - z α - ϵ  or  z 0 > z ϵ . A média da amostra correspondente é a média da população (da hipótese) aumentada pelo produto do valor z e o desvio padrão:

x - = μ + z σ n = μ 0 - z α - ϵ σ n x - = μ + z σ n = μ 0 + z c σ n

O valor z é a média da amostra diminuída pela média da população (média alternativa). dividido pelo desvio padrão:

z = x - - μ 1 σ n = μ 0 - z α - ϵ σ n - μ 0 - δ σ n = - δ n σ - z α - ϵ z = x - - μ 1 σ / n = μ 0 + z c σ n - μ 0 - δ σ / n = - δ n σ + z c

β é a probabilidade de um erro do tipo II e, portanto, é a probabilidade de não rejeitar a hipótese nula quando a média alternada μ 1 é a média verdadeira.

β = P  erro tipo II = P - δ n σ - z α - ϵ < z < - δ n σ + z ϵ = P - z α - ϵ < z + δ n σ < z t

Resposta

  1. P (  erro tipo I ) = α
  2. β = P - δ n σ - z α - ϵ < z < - δ n σ + z ϵ = P - z α - ϵ < z + δ n σ < z ϵ
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