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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Montgomery - Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros- Ed: 4º - Capítulo 9.Exercícios - Ex. 15

9-15.Uma companhia de produtos para consumidor esta formulando

um xampu novo e esta interessada na altura(em milimetros)da espu-

ma.A altura da espuma tem distribuicao aproximadamente normal.

com um desvio-padrao de 20 mlimetros.A companhia deseja testar

1s:p-175 milimetrosversusHp>175 milimetros.usando os re-

sultados den-10 amostras.

（a)Encontre a probabilidade a do erro tipo l.se a regido critica for

＞185

（b)Qual sera a probabilidadle do erro tipo ll.se a altura media verdadei-

ra da espuma for 185 milimetros?

（c)Encumre B para a media verdadeira de 195 milimetros.

Passo 1

A probabilidade de cometer um erro do tipo I é

α = P (  erro tipo I ) = P  rejeita  H 0  quando  H 0  é verdadeiro).                  (1) 

Às vezes, a probabilidade de erro do tipo I é chamada de nível de significância, erro- α , ou o tamanho do teste.

A altura da espuma tem um desvio padrão de σ = 20 m m . A empresa deseja testar H 0 : μ = 175 m m versus H 1 : μ > 175 m m , usando os resultados de n = 10 amostras.

Letra a:

A região crítica é x > 185 , da Equação (1), a probabilidade de erro tipo I é

α = P ( x - > 185   q u a n d o   μ = 175 ) = P x - - μ σ n > 185 - μ σ n  quando  μ = 175 = P x - - μ σ n > 185 - 175 20 10 = * P ( z > 1.58 ) = 1 - P ( z ≤ 1.58 )

( * ) : A distribuição da variável aleatória

z = x - - μ σ / n

é aproximadamente normal com média μ , e desvio padrão σ n

Portanto, a partir da Tabela III do Apêndice, a probabilidade de erro tipo I é

α = 1 - 0.942947 = 0.057053

Passo 2

Letra b:

Ao avaliar a. procedimento de teste de hipótese, também é importante examinar a probabilidade de um erro do tipo II. Que é

β = P  erro tipo II = P  falha em rejeitar  H 0  quando  H 0  é falso                      ( 1 )

A verdadeira altura média da espuma é 185 milímetros, do que a partir da Equação (1), obtemos

β = P ( x - < 185   q u a n d o   μ = 185 ) = P x - - μ σ n < 185 - μ σ n  quando  μ = 185 = P x - - μ σ n < 185 - 185 20 10 = ( * ) P ( z < 0 )

Portanto, a partir da Tabela III do Apêndice, a probabilidade de erro tipo II é

β = 0.5

Passo 3

Letra c:

A verdadeira altura média da espuma é 195 milímetros, do que a partir da Equação (1), obtemos

β = P ( x - < 185   q u a n d o   μ = 195 ) = P x - - μ σ n < 185 - μ σ n  quando  μ = 195 = P x - - μ σ n < 185 - 195 20 10 = ( * ) P ( z < - 1.58 )

Portanto, a partir da Tabela III do Apêndice, a probabilidade de erro tipo II é

β = 0.057053

Resposta

  1. α = 0.057053
  2. β = 0.5
  3. β = 0.057053
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