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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Bussab - Estatística Básica- Ed: 9º - Capítulo 13.Problemas - Ex. 26

Num levantamento feito com os operários da indústria mecânica, chegou-se aos se-

guintes números: salário médio = 3,64 salários mínimos e desvio padrão = 0,85 salário

mínimo. Suspeita-se que os salários da subclasse formada pelos torneiros mecânicos

são diferentes dos salários do conjunto todo, tanto na média como na variância. Que conclusões você obteria se uma amostra de 25 torneiros apresentasse salário médio

igual a 4,22 salários mínimos e desvio padrão igual a 1,25 salário mínimo?

Passo 1

Vamos começar definindo a variável X   =   s a l á r i o   d o s   t o r n e i r o s   m e c â n i c o s   e m   S M .    

Do enunciado, temos o seguinte:

μ o p = 3,64   s m   e   σ o p 2 = ( 0,85 2 )   s m

X - t o r = 4,22   s m     e     S t o r 2 = ( 1,25 2 )   s m

N = 25   t o r n e i r o s .

Considerando que a população de torneiros mecânicos segue uma distribuição normal e tomando α = 5 % .

Passo 2

Primeiro vamos realizar o teste de hipótese para a variância dos salários dos torneiros:

Q = n - 1 S t o r 2 σ t o r 2 ~ X n - 1 2 D i s t r i b u i ç ã o   Q u i - Q u a d r a d o   c o m   n - 1   g r a u s   d e   l i b e r d a d e

Teste de hipótese: H 0 :   σ t o r 2 = ( 0,85 2 )     e     H 1 :   σ t o r 2 ≠ ( 0,85 2 )

Vamos construir nossa região crítica: R C = q 0 ∈ R q 0 < X 1 - α 2 ; 24 2   o u   q 0 > X α 2 ; 24 2

Onde:     X 0,025 ; 24 2 = 39,364     e     X 0,975 ; 24 2 = 12,401

Portanto nossa região crítica fica assim: R C = q 0 < 12,401   o u   q 0 > 39,364

Teste sob H 0 :

q 0 = 24   .   1,25 2 0,85 2 = 51,903

Como q 0 = 51,903 ∈ R C , devemos rejeitar H 0 e concluímos que existem evidencias de que a variância dos salários dos torneiros mecânicos difere do conjunto de todos os operários.

Passo 3

Para realizar o teste para a media dos salários, devemos considerar a variância populacional como desconhecida:

T = X - t o r - μ t o r S t o r 2 n ~ t n - 1 D i s t r i b u i ç ã o   d e   t - s t u d e n t   c o m   n - 1   g r a u s   d e   l i b e r d a d e

Teste de Hipótese: H 0 :   μ t o r = 3,64       e     H 1 : μ t o r ≠ 3,64

Novamente vamos construir uma região critica: R C = t 0 ∈ R t 0 < - t α 2 ; 24   o u   t 0 > t α 2 ; 24   }

Com t 0,025 ; 24 = ± 2,064

Lembrando que na distribuição de t-student, quando temos um limite bilateral: p 2 = α 2 = 0,025 → p = 5 %

Portanto, nossa região critica fica assim:

R C = t 0 < - 2,064   o u   t 0 > 2,064

Teste sob H 0 :  

t 0 = 4,22 - 3,64 1,25 2 25 = 2,32

Resposta

Como t 0 = 2,32 ∈ R C , rejeitamos H 0 e portanto existem evidencias de que os salários médios dos torneiros mecânicos são realmente diferentes do restante, como se suspeitava, assim como a variância.

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