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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Montgomery - Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros- Ed: 4º - Capítulo 9.Exercícios - Ex. 81

9-81. Um pesquisador afirma que no minimo 10 de todos os capace-

tes de futebol americano têm falhas de fabricação que poderiam causar.

polencialmente. injúrias ao usuário. Uma amostra de 200 capaceles re-

velou que 16 deles continham tais defeitos.

a) A informação dada sustenta a afirmação do pesquisador? Use x =

0.01. Encontre o valor P para esse leste.

b) Explique como a questão do item (a) poderia ser respondida com um

intervalo de confiança.

Passo 1

Oi oi gente, tudo bom com vocês?

Vamos fazer essa questão aqui de um jeito bem passo a passo pra facilitar a vida de todo mundo!Boraaa

Suponha que uma amostra aleatória de tamanho n   tenha sido obtida de uma grande população e que X observações nesta amostra pertençam a uma classe de interesse. Então

P ^ = X n                     ( 1 )

é um estimador pontual da proporção da população p . Se p   não estiver muito próximo de 0 ou 1 e se n for relativamente grande, a distribuição amostral de P é aproximadamente normal com média p e variância p ( 1 - p ) / n . Para aplicar esta aproximação, exigimos que n p e n ( 1 - p ) sejam maiores ou iguais a 5.

Consideraremos testar:

H 0 : p = p 0

Contra

H 0 : p > p 0

Para testar H 0 , calcule a estatística de teste

Z 0 = X - n p 0 n p 0 1 - p 0                 ( 2 )

é aproximadamente normal padrão e determina o valor P. Como a estatística de teste segue uma distribuição normal padrão se H 0 for verdadeiro, o valor P é

valor P  = 1 - Φ z 0        (3) 

Uma amostra de n = 200 capacetes revelou que x = 16 capacetes continham tais defeitos.

Passo 2

Letra a:

Consideramos o teste de

H 0 : p = 0.1

Contra

H 1 : p > 0.1

Da Equação (1) a amostra p

p ^ = 16 100 = 0.08

O valor Z que obtemos da Equação (2) é

z 0 = 16 - 200 × 0.1 200 × 0.1 ( 1 - 0.1 ) = - 0.94

Agora, da Tabela III do Apêndice, obtemos

α 0.01 = 2.33

Então

z 0 = - 0.94 < 2.33 = α 0.01

Então, concluímos que falhamos em rejeitar H 0 .

Agora, da Equação (3), o valor P para este teste é

v a l o r   P   = ( 1 - Φ ( - 0.94 ) ) = ( 1 - 0.173609 ) = 0.826391

Passo 3

Letra b:

Um I C de 99 % é:

p ^ - z α p - 1 - p ^ n ≤ p 0.08 - 2.33 0.08 1 - 0.08 200 ≤ p 0.035 ≤ p

O valor 0.1 pertence ao I C ( 0.035 , ∞ ) , então falhamos em rejeitar H 0 .

Resposta

  1. Nós falhamos em rejeitar H 0 , porque z 0 =   - 0.94 < 2.33 = α 0.01 . V a l o r   P   para esse teste é 0.826391
  2. 0.035 ≤ p
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