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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Magalhães e Lima - Noções de Probabilidade de Estatística - Ed: 6º - Capítulo 5.3 - Ex. 32

Baseando-se nas projeções de preço de duas matérias primas, M 1 e M 2 , pretende-se estudar a viabilidade econômica do lançamento de um certo produto. A função conjunta de probabilidade com os preços (em reais) é apresentada a seguir:

a) Determine o preço médio e a variância das matérias primas.

b) O produto usa 2 unidades de M 1 e 3 de M 2 . Qual é seu custo médio?

c) Se o produto deverá ser vendido por 50 reais, qual será o lucro médio por unidade?

Passo 1

Da distribuição conjunta, conseguimos tirar as distribuições marginais:

P M 1 = 1 = 0,1 + 0 + 0 = 0,1

P M 1 = 3 = 0,1 + 0,2 + 0,2 = 0,5

P M 1 = 5 = 0 + 0,2 + 0,2 = 0,4

Da mesma forma,

P M 2 = 5 = 0,1 + 0,1 + 0 = 0,2

P M 2 = 9 = 0 + 0,2 + 0,2 = 0,4

P M 2 = 13 = 0 + 0,2 + 0,2 = 0,4

Com isso, podemos calcular os valores médios:

E M 1 = 1 ⋅ P M 1 = 1 + 3 ⋅ P M 1 = 3 + 5 ⋅ P M 1 = 5

E M 1 = 1 ⋅ 0,1 + 3 ⋅ 0,5 + 5 ⋅ 0,4 = 3,6

Analogamente,

E M 2 = 5 ⋅ P M 2 = 5 + 9 ⋅ P M 2 = 9 + 13 ⋅ P M 2 = 13

E M 2 = 5 ⋅ 0,2 + 9 ⋅ 0,4 + 13 ⋅ 0,4 = 9,8

Passo 2

Para achar a variância, temos que

V a r M 1 = 1 - E M 1 2 P M 1 = 1 + 3 - E M 1 2 P M 1 = 3 + 5 - E M 1 2 P M 1 = 5

Logo,

V a r M 1 = - 2,6 2 ⋅ 0,1 + - 0,6 2 ⋅ 0,5 + 1,4 2 ⋅ 0,4 = 1,64

Da mesma forma,

V a r M 2 = 5 - E M 2 2 P M 2 = 5 + 9 - E M 2 2 P M 2 = 9 + 13 - E M 2 2 P M 2 = 13

Portanto,

V a r M 2 = - 4,8 2 ⋅ 0,2 + - 0,8 2 ⋅ 0,4 + 3,2 2 ⋅ 0,4 = 8,96

Passo 3

Como o produto usa 2 unidades de M 1 e 3 unidades de M 2 , temos que

p r e ç o = 2 M 1 + 3 M 2 ⇒ E p r e ç o = 2 E M 1 + 3 E ( M 2 )

Logo,

E p r e ç o = 2 ⋅ 3,6 + 3 ⋅ 9,8 = 36,6

Como ele será vendido por 50 reais, o lucro médio será

E l u c r o = 50 - E p r e ç o = 50 - 36,6 = 13,4

Resposta

E M 1 = 3,6             e           V a r M 1 = 1,64

E M 2 = 9,8             e           V a r M 2 = 8,96

E p r e ç o = 36,6

E l u c r o = 13,4

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